На диаграмме изображен цикл 1231 проведенный с 1 молем

А.И.Фридман,
школа № 7, г. Москва

Методика решения задач с
использованием диаграмм состояния

10-й класс. углубленный
курс

Метод решения задач с
использованием диаграмм состояния успешно
зарекомендовал себя при изуче- нии тем «Газовые
законы», «Термодинамика», «Тепловые двигатели».
Этот метод может быть использован также и на
уроках, и на факультативных занятиях.

1. При нагревании газа получена
зависимость, показанная на рисунке. Определите,
сжимался газ или расширялся? [Масса газа
постоянна. – Ред.]

Решение

Нужно провести из начала
координат прямые (пунктир на чертеже),
проходящие через состояния 1 и 2.
Эти прямые соответствуют процессам при
постоянных объемах V1 и V2.
Поскольку V2 > V1, газ
расширялся.

2. Как менялась температура
[заданной массы. – Ред.] идеального газа
(увеличивалась или уменьшалась) в процессе,
график которого в координатах p, V изображен
на рисунке?

Решение

Проведем гиперболы,
касательные к кривой. Так как гипербола в
координатах p, V является графиком изотермы:
pV = nRT
= const, то T1 < T2. Следовательно, от
состояния 1 до состояния 2 температура газа
повышалась, а от состояния 2 до состояния 1 –
понижалась.

3. Получены две
экспериментальные зависимости (см. рисунок). В
каком случае масса газа больше? Давление в первом
и во втором случае одинаково.

Решение

Так как V1 > V2,
то m1 > m2.

4. Над идеальным газом производят
два замкнутых процесса: 1–2–3–1 и 3–2–4–3.
В каком из них газ совершает бо1льшую работу?

Решение

Изобразим изменение
состояния газа на p–V-диаграмме.
Очевидно, что А2 > А1.

5. Моль идеального одноатомного
газа переводится из начального состояния 1 в
конечное состояние 4 в ходе процесса 1–2–3–4.
определите подведенное к газу количество
теплоты, если разность начальной и конечной
температур DT = 100 К. Считать R = 8,3 Дж/(моль • К).

Решение

 Из р–Т-диаграммы
видно, что T2 – T1 = T4 – T3
= DТ.

Воспользуемся формулой Q = DU + A ‘:

– тепло подводится;

– тепло отводится, T уменьшается;

– тепло подводится.

6. Моль одноатомного [идеального.
– Ред.] газа совершает замкнутый цикл,
состоящий из трех процессов: адиабатического
расширения, изотермического сжатия и изохорного
нагревания. Какая работа была совершена газом в
адиабатическом процессе, если при изохорном
нагревании подвели Q = 10 кДж тепла? R = 8,3 Дж/(К • моль).
[Для произвольного идеального газа результат тот
же. – Ред.]

Решение

Q12 = 0 Ю  = –DU12 .

T2 = T3Ю – DU31 = DU12.

V1 = V3Ю Q31 = DU31 = 10 кДж,
т.к. A’31 = 0.

Таким образом, A ’12 = –DU12 = DU31 = Q31 =
10 кДж.

7. Один моль одноатомного
идеального газа совершает замкнутый цикл,
состоящий из процесса с линейной зависимостью
давления от объема, изобары и изохоры. Найдите
количество теплоты, подведенное к газу на
участках цикла, где его температура растет.
Температура газа в состояниях 1 и 2 равна
300 К. Отношение объемов на изобаре  
Направление обхода цикла
указано стрелками. R = 8,3 Дж/(моль • К).

Решение

б) На участке 1–2 p = a – bV, т.е.:

p1 = a – bV1;
p2 = a – bV2.

Решая систему, находим:

Таким образом,

Умножив обе части на V,
получим:

На участке 1–4 температура
растет!

в)

Qподвед = Q31 + Q14 = 1245
Дж + 726,25 Дж d 1970 Дж.

8. Состояние [одного моля
идеального одноатомного. – Ред.] газа
меняется, как представлено на диаграмме p, T,
причем p ~ T на участке 1–2 и на участке 2–3. Найдите теплоемкости газа
на участках 1–2 и 2–3.

Решение

а) На участке 1–2

б) На участке 2–3 таким
образом, V ~ p. Работа газа в этом
случае:

[В решении этой задачи помещен
рисунок, предложенный редакцией, т.к. авторский
рисунок ошибочен. – Ред]

9. КПД тепловой машины,
работающей по циклу, состоящему из изотермы 1–2,
изохоры 2–3 и адиабаты 3–1, равен h. Разность
максимальной и минимальной температур газа в
цикле равна DT.

Найдите работу, совершенную n
молями одноатомного идеального газа в
изотермическом процессе.

Решение

Q12 – количество теплоты,
полученное от нагревателя; Q23 – количество
теплоты, отданное холодильнику; Q31 = 0,
т.к. 3–1 – адиабата.

Итак:

(адиабата);

  (изотерма).

Поэтому

Задачи для
самостоятельного решения

1. Поршень в цилиндре с воздухом
прилегает к стенкам цилиндра неплотно, поэтому
медленно пропускает воздух. Снятая во время
нагревания при постоянном давлении зависимость
объема от температуры изображена на рисунке.
Увеличивалась или уменьшалась масса воздуха в
цилиндре? (Ответ. Масса газа в состоянии 1
больше, чем в состоянии 2.)

2. На рисунке показан
циклический процесс, проведенный над некоторой
массой [идеального. – Ред.] газа. Изобразите
этот процесс в координатах p, T и V, T (1–2
и 4–5 – изотермы).

3. На p–T-диаграмме изображен
замкнутый процесс, который совершает некоторая
масса кислорода. Известно, что максимальный
объем, который занимал газ в этом процессе, Vмакс = 16,6 дм3.
Определите массу газа и его объем в точке 1.
Значения T1, T2, p1 и p2
указаны на рисунке.
(Ответ. V1 = 12,4 дм3; m = 16 г.)

4. Найдите работу,
совершаемую молем идеального газа в цикле,
состоящем из двух участков линейной зависимости
давления от объема и изохоры. Точки 1 и 3
лежат на прямой, проходящей через начало
координат. Температуры в точках 2 и 3
одинаковы. Считать заданными температуры T1
и T2 в точках 1 и 2. (Ответ  )

5. В тепловом процессе моль
[одноатомного. – Ред.] идеального газа
переводят из начального состояния в конечное,
как показано на рисунке. Какое количество
теплоты подведено к газу, если разность
начальной и конечной температур DT = 100 °C? (Ответ. 415 Дж.)

6. Моль идеального газа
переводят из состояния 1 в состояние 2: в
первом случае – адиабатически, а во втором –
сначала по изобаре 1–3, а затем по изохоре 3–2.

Минимальная температура Tмин = 300 К.
Количество теплоты, подведенное к газу в
процессе 1–3–2, равно 2,6 кДж. Чему
равна работа газа в адиабатическом процессе?

(Ответ. А12 = –
12 560 Дж.)

7. Один моль идеального газа
изменяет свое состояние согласно
представленному циклу. 1–4 и 2–3 – изохоры,
3–4 – изобара, 1–2 – прямая.
Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4
равны соответственно T1, T2, T3,
T4. Какую работу совершает газ за один
цикл?

(Ответ. .)

8. В каждом из процессов,
изображенных на диаграмме, температура
изменяется на одну и ту же величину. В каком из
этих процессов газ получает наибольшее
количество теплоты? (Ответ. в изобарном
процессе.)

9. Состояние [моля идеального. – Ред.]
газа меняется, как представлено на диаграмме p, V,
причем p ~ V2 на участке 1–2.
Найдите теплоемкость газа в этом процессе. (Ответ. .)

[Авторский ответ ошибочен.
– Ред.]

4 10. Найдите КПД тепловых
машин, работающих по циклам 1–2–3–1 и 1–3–4–1,
если КПД машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1,
равен h.
В качестве рабочего тела во всех слу-

чаях используется [один и тот
же. – Ред.] идеальный газ.

(Ответ: )

44 11. Определите КПД цикла,
состоящего из двух адиабат и двух изохор,
совершаемого одноатомным идеальным газом.
Известно, что в процессе адиабатного расширения
устанавливается температура T2 = 0,75 T1,
а в

процессе адиабатного сжатия T3 = 0,75 T4.
(Ответ: h = 25 %.)

[Для произвольного идеального
газа результат тот же. – Ред.]