Граф с элементарными циклами
Проснулся я как-то ближе к вечеру и решил — всё пора, пора уже сделать новую фичу в моей библиотеке. А за одно и проверку графа на циклы починить и ускорить. К утреннему обеду сделал новую фичу, улучшил код, сделал представление графа в удобном виде, и дошёл до задачи нахождения всех простых циклов в графе. Потягивая чашку холодной воды, открыл гугл, набрал “поиск всех простых циклов в графе” и увидел…
Увидел я не много… хотя было всего лишь 4 часа утра. Пару ссылок на алгоритмы ссылка1, ссылка2, и много намеком на то, что пора спать циклов в графе может быть много, и в общем случае задача не решаемая. И еще вопрос на хабре на эту тему, ответ на который меня тоже не спас — про поиск в глубину я и так знал.
Но раз я решил, то даже NP сложную задачу решу за P тем более я пью воду, а не кофе — а она не может резко закончиться. И я знал, что в рамках моей задачи найти все циклы должно быть возможным за маленькое время, без суперкомпьютеров — не тот порядок величин у меня.
Немного отвлечемся от детектива, и поймем зачем мне это нужно.
Библиотека называется DITranquillity написана на языке Swift, и её задача — внедрять зависимости. С задачей внедрения зависимостей библиотека справляется на ура, имеет возможности которые не умеют другие библиотеки на Swift, и делает это с хорошей скоростью.
Но зачем мне взбрело проверять циклы в графе зависимостей?
Ради киллерфичи — если библиотека делает основной функционал на ура, то ищешь способы её улучшить и сделать лучше. А киллефича — это проверка графа зависимостей на правильность — это набор разных проверок, которые позволяют избежать проблем во время исполнения, что экономит время разработки. И проверка на циклы выделяется отдельно среди всех проверок, так как эта операция занимает гораздо больше времени. И до недавнего времени некультурно больше времени.
О проблеме я знал давно, но понимал, что в том виде, в каком сейчас хранится граф сделать быструю проверку сложно. Да и раз уж библиотека умеет проверять граф зависимостей, то сделать “Graph API” само напрашивается. “Graph API” — позволяет отдавать граф зависимостей для внешнего пользования, чтобы:
- Его проанализировать как-то на свой лад. Например, в своё время, для работы собрал автоматически все зависимости между нашими модулями, что помогло убрать лишние зависимости и ускорить сборку.
- Пока нет, но когда-нибудь будет — визуализация этого графа с помощью graphvis.
- Проверка графа на корректность.
Особенно ради второго — кто как, а мне нравится смотреть на эти ужасные картинки и понимать как же все плохо…
Давайте посмотрим, с чем предстоит работать:
- MacBook pro 2019, 2,6 GHz 6-Core i7, 32 Gb, Xcode 11.4, Swift 5.2
- Проект на языке Swift с 300к+ строчек кода (пустые строки и комментарии не в счёт)
- Более 900 вершин
- Более 2000 ребер
- Максимальная глубина зависимостей достигает 40
- Почти 7000 циклов
Все замеры делаются в debug режиме, не в release, так как использовать проверку графа будут только в debug.
До этой ночи, время проверки составляло 95 минут.
Для не терпеливых
После оптимизации время проверки уменьшилось до 3 секунд, то есть ускорение составило три порядка.
Возвращаемся к нашему детективу. Мой графне Монте Кристо, он ориентированный.
Каждая вершина графа это компонент, ну или проще информация о классе. До появления Graph API все компоненты хранились в словаре, и каждый раз приходилось в него лазить, еще и ключ создавать. Что не очень быстро. Поэтому, будучи в здравом уме, я понимал, что граф надо представить в удобном виде.
Как человек, недалекий от теории графов, я помнил только одно представление графа — Матрица смежности. Правда моё создание подсказывало, что есть и другие, и немного поднапряг память, я вспомнил три варианта представления графа:
- Список вершин и список ребер — отдельно храним вершины, отдельно храним ребра.
- Матрица смежности — для каждой вершины храним информацию, есть ли переход в другую вершину
- Список смежности — для каждой вершины храним список переходов
Но прежде чем напрягать мозги, пальцы уже сделали своё дело, и пока я думал какой сейчас час, на экране уже успел появиться код для создания графа в виде матрицы смежности. Жалко конечно, но код пришлось переписать — для моей задачи важнее как можно быстрее находить исходящие ребра, а вот входящие меня мало интересуют. Да и память в наше время безгранична — почему бы её не сэкономить?
Переписав код, получилось что-то на подобии такого:
Graph:
vertices: [Vertex]
adjacencyList: [[Edge]]
Vertex:
more information about vertex
Edge:
toIndices: [Int]
information about edge
Где Vertex информация о вершине, а Edge информация о переходе, в том числе и индексы, куда по этому ребру можно перейти.
Обращаю внимание что ребро хранит переход не один в один, а один в много. Это сделано специально, чтобы обеспечить уникальность рёбер, что в случае зависимостей очень важно, так как два перехода на две вершины, и один переход на две вершины означает разное.
Из начала статьи все же помнят, что к этому моменту было уже 4 часа утра, а значит, единственная идея, как реализовать поиск всех простых циклов была та, что я нашел в гугле, да и мой учитель всегда говорил — “прежде чем оптимизировать, убедись, что это необходимо”. Поэтому первым делом я написал обычный поиск в глубину:
Код
result: [Cycle] = []
for index in vertices {
result += findCycles(from: index)
}
return result
}
func findCycles(from index: Int) -> [Cycle] {
result: [Cycle] = []
dfs(startIndex: index, currentIndex: index, visitedIndices: [], result: &result)
return result
}
func dfs(startIndex: Int,
currentIndex: Int,
// visitedIndices каждый раз копируется
visitedIndices: Set<Int>,
// result всегда один – это ссылка
result: ref [Cycle]) {
if currentIndex == startIndex && !visitedIndices.isEmpty {
result.append(cycle)
return
}
if visitedIndices.contains(currentIndex) {
return
}
visitedIndices += [currentIndex]
for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
dfs(startIndex: startIndex, currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, result: &result)
}
}
Запустил этот алгоритм, подождал 10 минут… И, конечно же, ушел спать — А то уже солнце появилось из-за верхушек зданий…
Пока спал, думал — а почему так долго? Про размер графа я уже писал, но в чем проблема данного алгоритма? Судорожно вспоминая дебажные логи вспомнил, что для многих вершин количество вызовов функции dfs составляет миллион, а для некоторых по 30 миллионов раз. То есть в среднем 900 вершин * 1000000 = 900.000.000 вызовов функции dfs…
Откуда такие бешеные цифры? Будь бы это обычный лес, то все бы работало быстро, но у нас же граф с циклами… ZZzzz…
Проснулся я снова не по завету после обеда, и первым делом было не пойти в туалет, и уж точно не поесть, а посмотреть, сколько же выполнялся мой алгоритм, а ну да всего-то полтора часа… Ну, ладно, я за ночь придумал, как оптимизировать!
В первой реализации ищутся циклы, проходящие только через указанную вершину, а все подциклы, найденные при поиске основных циклов, просто игнорируются. Возникает желание перестать их игнорировать — тогда получается, что можно выкидывать из рассмотрения все вершины, через которые мы уже прошли. Сделать это не так сложно, правда, когда пальцы не попадают по клавиатуре чуть сложнее, но каких-то полчаса и готово:
Код
globalVisitedIndices: Set<Int> = []
result: [Cycle] = []
for index in vertices {
if globalVisitedIndices.containts(index) {
continue
}
result += findCycles(from: index, globalVisitedIndices: &globalVisitedIndices)
}
return result
}
func findCycles(from index: Int, globalVisitedIndices: ref Set<Int>) -> [Cycle] {
result: [Cycle] = []
dfs(currentIndex: index, visitedIndices: [], globalVisitedIndices, &globalVisitedIndices, result: &result)
return result
}
func dfs(currentIndex: Int,
// visitedIndices каждый раз копируется
visitedIndices: Set<Int>,
// globalVisitedIndices всегда один – это ссылка
globalVisitedIndices: ref Set<Int>,
// result всегда один – это ссылка
result: ref [Cycle]) {
if visitedIndices.contains(currentIndex) {
// если visitedIndices упорядочен, то вырезав кусок, можно получить информацию о цикле
result.append(cycle)
return
}
visitedIndices += [currentIndex]
for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
dfs(currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, globalVisitedIndices: &globalVisitedIndices, result: &result)
}
}
Дальше по заповедям программиста “Программист ест, билд идёт” я ушел есть… Ем я быстро. Вернувшись через 10 минут и увидев, что все еще нет результата, я огорчился, и решил подумать, в чем же проблема:
- Если у меня несколько больших раздельных циклов, то на каждый такой цикл тратится уйму времени, благо, всего один раз.
- Многие циклы “дублируются” — нужно проверять уникальность при добавлении, а это время на сравнение.
Интуиция мне подсказывала, что первый вариант был лучше. На самом деле он понятней для анализа, так как мы запоминаем циклы для конкретной вершины, а не для всего подряд.
Проснуться я уже успел, а значит самое время для листочка и карандаша. Посмотрев на цифры, нарисовав картинки на листочке, стало понятно, что листья обходить не имеет смысла, и даже не листья, а целые ветки, которые не имеют циклов. Смысл в них заходить, если мы ищем циклы? Вот их и будем отсекать. Пока это думал, руки уже все сделали, и даже нажали run… Ого, вот это оптимизация — глазом моргнуть не успел, а уже все нашло… Ой, а чего циклов так мало то нашлось… Эх… А всё ясно проблема в том, что я не налил себе стакан воды. На самом деле проблема вот в этой строчке:
if visitedIndices.contains(currentIndex) {
Я решил, что в этом случае мы тоже наткнулись на лист, но это неверно. Давайте рассмотрим вот такой граф:
В этом графе есть под цикл B->E->C значит, этот if выполнится. Теперь предположим, что вначале мы идем так:
A->B->E->C->B!.. При таком проходе C, Е помечается как лист. После находим цикл A->B->D->A.
Но Цикл A->C->B->D->A будет упущен, так как вершина C помечена как лист.
Если это исправить и отбрасывать только листовые под ветки, то количество вызовов dfs снижается, но не значительно.
Ладно, еще целых полдня впереди. Посмотрев картинки и различные дебажные логи, стало понятно, что есть ситуации, где функция dfs вызывается 30 миллионов раз, но находится всего 1-2 цикла. Такое возможно в случаях на подобии:
Где “Big” это какой-то большой граф с кучей циклов, но не имеющий цикла на A.
И тут возникает идея! Для всех вершин из Big и C, можно заранее узнать, что они не имеют переходов на A или B, а значит, при переходе на C понятно, что эту вершину не нужно рассматривать, так как из нее нельзя попасть в A.
Как это узнать? Заранее, для каждой вершины запустить или поиск в глубину, или в ширину, и не посещать одну вершину дважды. После сохранить посещенные вершины. Такой поиск в худшем случае на полном графе займет O(N^2) времени, а на реальных данных намного меньше.
Текст для статьи я писал гораздо дольше, чем код для реализации:
Код
reachableIndices: [Set<Int>] = findAllReachableIndices()
result: [Cycle] = []
for index in vertices {
result += findCycles(from: index, reachableIndices: &reachableIndices)
}
return result
}
func findAllReachableIndices() -> [Set<Int>] {
reachableIndices: [Set<Int>] = []
for index in vertices {
reachableIndices[index] = findAllReachableIndices(for: index)
}
return reachableIndices
}
func findAllReachableIndices(for startIndex: Int) -> Set<Int> {
visited: Set<Int> = []
stack: [Int] = [startIndex]
while fromIndex = stack.popFirst() {
visited.insert(fromIndex)
for toIndex in adjacencyList[fromIndex] {
if !visited.contains(toIndex) {
stack.append(toIndex)
}
}
}
return visited
}
func findCycles(from index: Int, reachableIndices: ref [Set<Int>]) -> [Cycle] {
result: [Cycle] = []
dfs(startIndex: index, currentIndex: index, visitedIndices: [], reachableIndices: &reachableIndices, result: &result)
return result
}
func dfs(startIndex: Int,
currentIndex: Int,
visitedIndices: Set<Int>,
reachableIndices: ref [Set<Int>],
result: ref [Cycle]) {
if currentIndex == startIndex && !visitedIndices.isEmpty {
result.append(cycle)
return
}
if visitedIndices.contains(currentIndex) {
return
}
if !reachableIndices[currentIndex].contains(startIndex) {
return
}
visitedIndices += [currentIndex]
for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
dfs(startIndex: startIndex, currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, result: &result)
}
}
Готовясь к худшему, я запустил новую реализацию, и пошел смотреть в окно на ближайшее дерево, в 5 метрах — вдаль смотреть говорят полезно. И вот счастье — код полностью исполнился за 15 минут, что в 6-7 раз быстрее прошлого варианта. Порадовавшись мини победе, и порефачив код, я начал думать, что же делать — такой результат меня не устраивал.
Все время пока я писал код, и пока спал, меня мучил вопрос — а можно ли как-то использовать результат прошлых вычислений. Ведь уже найдены все циклы через некоторую вершину, наверное, что-то это да значит для других циклов.
Чтобы понять, что это значит, мне понадобилось сделать три итерации, каждая из которых была оптимальней предыдущей.
Все началось с вопроса — “Зачем начинать поиск с новой вершины, если все исходящие ребра ведут в вершины, которые или не содержат цикла, или это вершина через которую уже были построены все циклы?”. Потом поток мыслей дошел до того что проверку можно делать рекурсивно. Это позволило уменьшить время до 5 минут.
И только выпив залпом весь стакан с водой, а он 250мл, я осознал, что эту проверку можно вставить, прям внутри поиска в глубину:
Код
reachableIndices: [Set<Int>] = findAllReachableIndices()
result: [Cycle] = []
for index in vertices {
result += findCycles(from: index, reachableIndices: &reachableIndices)
}
return result
}
func findAllReachableIndices() -> [Set<Int>] {
reachableIndices: [Set<Int>] = []
for index in vertices {
reachableIndices[index] = findAllReachableIndices(for: index)
}
return reachableIndices
}
func findAllReachableIndices(for startIndex: Int) -> Set<Int> {
visited: Set<Int> = []
stack: [Int] = [startIndex]
while fromIndex = stack.popFirst() {
visited.insert(fromIndex)
for toIndex in adjacencyList[fromIndex] {
if !visited.contains(toIndex) {
stack.append(toIndex)
}
}
}
return visited
}
func findCycles(from index: Int, reachableIndices: ref [Set<Int>]) -> [Cycle] {
result: [Cycle] = []
dfs(startIndex: index, currentIndex: index, visitedIndices: [], reachableIndices: &reachableIndices, result: &result)
return result
}
func dfs(startIndex: Int,
currentIndex: Int,
visitedIndices: Set<Int>,
reachableIndices: ref [Set<Int>],
result: ref [Cycle]) {
if currentIndex == startIndex && !visitedIndices.isEmpty {
result.append(cycle)
return
}
if visitedIndices.contains(currentIndex) {
return
}
if currentIndex < startIndex || !reachableIndices[currentIndex].contains(startIndex) {
return
}
visitedIndices += [currentIndex]
for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
dfs(startIndex: startIndex, currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, result: &result)
}
}
Изменения только тут: if currentIndex < startIndex.
Посмотрев на это простое решение, я нажал run, и был уже готов снова отойти от компьютера, как вдруг — все проверки прошли… 6 секунд? Не, не может быть… Но по дебажным логам все циклы были найдены.
Конечно, я подсознательно понимал, почему оно работает, и что я сделал. Постараюсь эту идею сформировать в тексте — Если уже найдены все циклы, проходящие через вершину A, то при поиске циклов проходящих через любые другие вершины, рассматривать вершину A не имеет смысла. Так как уже найдены все циклы через A, значит нельзя найти новых циклов через неё.
Такая проверка не только сильно ускоряет работу, но и полностью устраняет появление дублей, без необходимости их обрезать/сравнивать.
Что позволяет сэкономить время на способе хранения циклов — можно или вообще не хранить их или хранить в обычном массиве, а не множестве. Это экономит еще 5-10% времени исполнения.
Результат в 5-6 секунд меня уже устраивал, но хотелось еще быстрее, на улице еще солнце даже светит! Поэтому я открыл профайл. Я понимал, что на языке Swift низкоуровневая оптимизация почти невозможна, но иногда находишь проблемы в неожиданных местах.
И какое было моё удивление, когда я обнаружил, что половину времени из 6 секунд занимают логи библиотеки… Особенно с учетом, что я их выключил. Как говорится — “ты видишь суслика? А он есть…”. У меня суслик оказался большим — на пол поля. Проблема была типичная — некоторое строковое выражение считалось всегда, независимо от необходимости писать его в логи.
Запустив приложение и увидев 3 секунды, я уже хотел было остановиться, но меня мучило одно предчувствие в обходе в ширину. Я давно знал, что массивы у Apple сделаны так, что вставка в начало и в конец массива занимает константное время в силу кольцевой реализации внутри (извиняюсь, я не помню, как правильно это называется). И на языке Swift у массива есть интересная функция popLast(), но нет аналога для первого элемента. Но проще показать.
было (язык Swift)
var stack: [Int] = [startVertexIndex]
while let fromIndex = stack.first {
stack.removeFirst()
visited.insert(fromIndex)
for toIndex in graph.adjacencyList[fromIndex].flatMap({ $0.toIndices }) {
if !visited.contains(toIndex) {
stack.append(toIndex)
}
}
}
return visited
cтало (язык Swift)
var stack: [Int] = [startVertexIndex]
while let fromIndex = stack.popLast() {
visited.insert(fromIndex)
for toIndex in graph.adjacencyList[fromIndex].flatMap({ $0.toIndices }) {
if !visited.contains(toIndex) {
stack.insert(toIndex, at: 0)
}
}
}
return visited
Вроде изменения не значительные и, кажется, что второй код должен работать медленнее — и на многих языках второй код будет работать медленнее, но на Swift он быстрее на 5-10%.
А какие могут быть итоги? Цифры говорят сами за себя — было 95 минут, стало 2.5-3 секунды, да еще и добавилось новых проверок.
Три секунды тоже выглядит не шустро, но не стоит забывать, что это на большом и не красивом графе зависимостей — такие днем с огнем не сыщешь в мобильной разработке.
Да и на другом проекте, который больше похож на средний мобильный проект, время с 15 минут уменьшилось до менее секунды, при этом на более слабом железе.
Ну а появлению статьи благодарим гугл — который не захотел мне помогать, и я придумывал все из головы, хоть и понимаю, что Америку я не открыл.
Весь код на языке Swift можно найти в папке.
Кому понравилась статья, или не понравилась, пожалуйста, зайдите на страницу библиотеки и поставьте ей звёздочку.
Я каждый раз озвучиваю планы по развитию, каждый раз говорю “скоро” и всегда скоро оказывается когда-нибудь. Поэтому сроков называть не буду, но когда-нибудь это появится:
- Конвертация графа зависимостей в формат для graphvis — а он в свою очередь позволит просматривать графы визуально.
- Оптимизация основного функционала библиотеки — С появлением большого количества новых возможностей, моя библиотека хоть и осталось быстрой, но теперь она не сверх быстрая, а на уровне других библиотек.
- Переход на проверку графа и поиск проблем во время компиляции, а не при запуске приложения.
P.S. Если отключить 5 этап полностью, это который добавление доп. действия перед началом поиска, то скорость работы понизится в 1.5 раза — до 4.5 секунд. То есть в этой операции даже после всех других оптимизаций есть толк.
P.P.S. Некоторые факты из статьи выдуманные, для придания красоты картины. Но, я на самом деле пью только чистую воду, и не пью чай/кофе/алкоголь.
UPD: По просьбе добавляю ссылку на сам граф. Он описан в dot формате, имена вершин просто нумерацией. Ссылка
Посмотреть на то как это выглядит визуально можно по этой ссылке.
UPD: banshchikov нашёл другой алгоритм Donald B. Johnson. Более того есть его реализация на swift.
Я решил сравнить свой алгоритм, и этот алгоритм на имеющемся графе.
Вот что получилось:
Время измерялось только на поиск циклов. Сторонняя библиотека конвертирует входные данные в удобные ей, но подобная конвертация должна занимать не более 0.1 секунды. А как видно время отличается на порядок (а в релизе на два). И списать такую большую разницу на неоптимальную реализацию нельзя.
- Как я писал, в моей в библиотеки ребра это не просто переход из одной вершины в другую. В стороннюю реализацию подобную информацию передать нельзя, поэтому количество найденных циклов не совпадает. Из-за этого в результатах ищутся все уникальные циклы по вершинам, без учета рёбер, дабы убедиться в совпадении результата.
Источник
histrix | Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 08:46 |
Чтобы быть кратким, приведу конкретный пример: Есть ли стандартные методы для нахождения простейших контуров (т.е. простых треугольников из трех вершин и простых контуров между двумя рёбрами, т.е. случай когда 2 вершины связаны многими рёбрами) в графе представленном на изображении сверху? Можно ли найти хотя бы все элементарные циклы в таком графе (если нахождение простейших контуров слишком сложно)? Долго уже думаю, вообще исходная задача геометрическая, но т.к. геометрия может быть весьма произвольной, думаю теперь в сторону представления графами. Вообще надо найти простейшие контуры, зная все отрезки из которых состоит фигура. При этом общие точки более чем двух отрезков это и есть вершины представленного графа. Я не математик, а инженер-электрик, потому не мог проводить очень обширных исследований вопроса. Но буду очень рад любым подсказкам с чего начать и что вообще реализуемо. Возможно есть другие методы кроме теории графов, хотя графы мне кажутся тут наиболее общим инструментом. P.S.: https://en.wikipedia.org/wiki/Spanning_t … tal_cycles говорит, что минимальное дерево даст все фундаментальные циклы, т.е. если я правильно понял, то все “простые треугольники” и “замкнутые двурёберники” можно найти через минимальное дерево. Верно ли это в общем случае? | |
Sonic86 | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 09:11 |
histrix | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 09:46 |
Можно и все элементарные циклы найти, не только 2-х и 3-хзвенные. Спасибо! Т.е. просто надо возводить матрицу связности в N-ю степень и выбирать циклы длины N, потом брать N+1 .. Вопрос тогда до какого N+M надо так делать? До степени N+M равной половине количества рёбер графа, или есть способы оценки длины (в количестве рёбер) самого длинного элементарного цикла? И верно ли, что все треугольники и двухзвенные элементарные циклы и прочие “элементарные фигуры” в графе являются фундаментальными циклами? Тогда их можно найти через минимальное дерево (см. P.S. к вопросу). Именно “элементарные фигуры” мне и нужны вообще-то для решения. Известно, что каждая “элементарная фигура” – элементарный цикл, но я пока сомневаюсь, верно ли что каждая “элементарная фигура” – фундаментальный цикл (т.к. графы лишь немного сам учил). Как из всего множества элементарных циклов отсортировать “нужные” (т.е. “элементарные фигуры”) мне известно по условию задачи. | |
Sender | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 11:03 |
Для нахождения циклов длины достаточно возвести матрицу связности в -ю степень. Таким образом будут посчитаны все циклы, не только элементарные. | |
ИСН | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 12:01 |
BTW, что такое фундаментальные циклы? Из текста понял, что они определяются в зависимости от дерева. А дерево само определяется неоднозначно. | |
histrix | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 12:22 |
BTW, что такое фундаментальные циклы Вот как по-русски фундаментальные циклы я не знаю, т.к. у меня в ВУЗе не было дискретной математики (не та специальность). Но вот подборка сообщений из интернета: https://stackoverflow.com/questions/1678 … in-a-graph https://stackoverflow.com/questions/1311 … in-a-graph Хорошее описание задачи (см. ссылку 2): рёбра это улицы в районе, а вершины – это перекрёстки улиц. Надо выделить границы блоков домов между улицами. Можно найти все элементарные циклы, а потом отобрать “нужные” (что для меня вариант “хотя бы”), но вроде обсуждаются некие minimal cycles, которые и будут блоками домов. Их и надо найти. Граф можно считать “unweighted” (т.е. у каждого ребра единичный вес), если DFS (Depth-first search, Поиск в глубину) тут поможет, то можете напишисать как, а если нет, то лучше сказать об этом сразу.. Я о графах пока только основы основ знаю. P.S.: Тему возможно стоит переименовать в Элементарные/минимальные циклы в графе | |
Sender | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 12:32 |
Обладает ли ваш граф свойством планарности, т.е. может ли быть уложен на плоскости так, чтобы его рёбра не пересекались? | |
histrix | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 13:35 |
Граф планарный и без мостов. Надо в идеале найти набор “минимальных” элементарных циклов, которые покрывают весь граф, при этом из условия ясно, что одно ребро может быть использовано 1-2 раза (2 раза если его делят “циклы-соседи”) | |
Sonic86 | Re: Элементарные циклы в графе 19.02.2014, 13:54 |
| |
Sender | Re: Элементарные циклы в графе 20.02.2014, 06:59 |
Ещё раз внимательно перечитал условие. Похоже, тут просто требуется найти все грани плоской укладки графа, причём она уже дана: граф представлен набором отрезков. Думаю, тут всё же подойдёт алгоритм, использующий расположение этих точек на плоскости. В моём представлении он может выглядеть так: Взаимную ориентацию векторов можно определить с помощью векторного произведения. | |
histrix | Re: Элементарные циклы в графе 20.02.2014, 09:23 |
Проблема в том, что “отрезки” в геометрической постановке не прямолинейные, а криволинейные (это отчасти видно на рисунке даже, там есть криволинейные дуги). Т.е. вершины графа – это пересечения кривых, а кривые, как и улицы в районе, далеко не всегда прямые линии и часто даже не аппроксимируются прямыми линиями. Если бы рёбра графа в плоской укладке были прямыми, я бы скорее предпочёл геометрический алгоритм. Но из-за того что геометрия рёбер может быть произвольной, решил формализм графов использовать, т.к. графы только учитывают связи между вершинами, без рассмотрения формы этих связей. Если кривые соединяющие “перекрёстки”/вершины графа заданы набором точек (т.е. кусочно-линейные прямые), то возможно алгоритм Sender’a может сработать, если, начиная от определённого перекрёстка, брать угол между и , где следующие “точки построения” криволинейных отрезков, а не их конечные точки… Не уверен, что сработает для криволинейных отрезков произвольной формы. | |
Sender | Re: Элементарные циклы в графе 20.02.2014, 12:39 |
Поскольку граф планарный, он допускает такую укладку на плоскости, что рёбра могут быть изображены прямолинейными отрезками. Возможно, сначала придётся преобразовать вашу конструкцию из мультиграфа в граф, добавив вспомогательные вершины где-нибудь на рёбрах. | |
histrix | Re: Элементарные циклы в графе 23.02.2014, 19:08 |
Пытаюсь реализовать приведённый Sender’ом алгоритм. На графе внизу выбрал первую вершину . Первое ребро (наименьший угол по ЧС с ортом j) ведёт в “тупик”, исключаем, берём следующее по ЧС ребро . В вершине выбираем направленное ребро , т.к. у него с предыдущим направленным ребром наибольший угол по ЧС (считая от ). Однако в вершине , если считать угол по ЧС от , то наибольший угол будет у , а не у . Т.е. вопрос, как верно считать угол? Алгоритм кажется верным, нашел что-то подобное на английском https://www.geometrictools.com/Documenta … eBasis.pdf (пример на рисунке взят оттуда, читать можно с 18й страницы, до неё там поиск в глубину описывают). Но там очень путанные объяснения, одно с другим, скажем так, непросто соотнести. Я расшифровываю, конечно, но может мне и тут парадокс с углами прояснят? Я пока не пробовал писать векторные произведения и проч. код, т.к. хочу сначала в голове уяснить, как это будет работать. | |
Sender | Re: Элементарные циклы в графе 24.02.2014, 07:39 |
Хм, да, похоже, ошибся с углами. Идея в том чтобы отмерять все углы в каком-то одном направлении, оставаясь при этом внутри грани. | |
histrix | Re: Элементарные циклы в графе 28.02.2014, 13:40 |
От которого из 2х векторов угол между и отсчитывать против часовой стрелки? Это, по-моему, зависит от того, идём мы по контуру по ЧС или же против ЧС. Но т.к. пока контур не замкнут, направление обхода по нему не определишь (особенно при начале обхода, когда взят один отрезок только), то возникают трудности с реализацией идеи. К счастью, нашёл тему https://math.stackexchange.com/questions … in-a-graph , там дан простой для понимания алгоритм нахождения всех граней планарной укладки графа. Будет время – переведу. Пока, увы, времени очень мало. | |
Источник