Чему равно изменение энтропии в цикле карно
Исходя из определений работы, энтальпии и теплоты становится ясно что при неизменных значениях давления в обратном термодинамическом цикле ( цикле в котором работа подводится к системе), площадь графика, занимаемая циклом в P-V координатах , определяет работу, подводимую к этому циклу. Соответственно, для неизменных значений давления, циклом с максимальной подводимой работой будет тот, в котором присутствуют две изобары, т.е. процесса сжатия/расширения работего тела без изменения его давления. При этом, чем больше разница давлений этих изобар, тем больше работа цикла. Основным условием здесь также ясляется то, что процессы перехода от одной изобары к другой должны происходить однотипно, к примеру, оба процесса должны быть изотермическими. Иначе условие максимальной подводимой работы не выполняется. Логично также, что для уменьшения диапазона удельных объемов вещества эти два процесса должны быть изохорными.
Резюме: Для цикла, характеризующегося максимальной подводимой работой при минимальном изменении удельных объемов, требуется 4 процесса: 2 изобары и 2 изохоры.
Теперь поставим вопрос иначе. Можно ли графически предсказывать циклы, обеспечивающие именно максимальный КПД? Вспомним, что КПД обратного цикла в первую очередь определяется не количеством подводимой/отводимой работы, а количеством теплоты. Тогда, мы можем ввести понятие энтропии, изменение которой пропорционально изменению теплоты в системе. Так как ценность теплоты неравнозначна, отнесем изменение теплоты к ее температуре, т. е. Получим следующее соотношение:
, сравнив полученную формулу с выражением для работы расширения легко видеть что, перейдя от P-V к T-S координатам , вместо работы, под графиком процесса мы получим теплоту, подведенную к системе или отведенную от нее в результате этого процесса.
Здесь важно упомянуть о втором законе термодинамики. Неканоническое его определение, данное Карно, гласит, что получение работы возможно только там, где существует разность температур. Перейдем к прямому циклу и попробуем получить эту работу.
Пусть у нас имеются два источника тепла с разными температурами. T1 – у более горячего и T2 – у более холодного.
Для этого на одном из этапов следует подвести к системе тепло от первого источника, на втором – отвести работу, после чего следует вернуть систему в исходное состояние.
В качестве первого процесса идеальна изотерма, т.к. в этом случае площадь под процессом максимальна, а следовательно, максимальна и подводимая теплота.
Второй процесс, если он идеален, должен максимально отдать энергию, запасенную системой, во внешнюю среду в виде технической работы при понижении температуры, т.е. не должно ни подводиться, ни отводиться тепла, и вся энергия должна переходить только в работу. Т.к. dQ = 0, то и dS = 0, т.е. процесс изоэнтропный и, в T-S координатах проходит вертикально. Также, т.к. dQ = 0, процесс можно назвать адиабатическим.
Теперь следует определиться каким образом возвращать систему в исходное состояние. Можно просто поднять температуру, одновременно отдавая теплоту второму источнику. Но, так как в этом случае площадь под процессом будет не минимальной, суммарная площадь, занимаемая циклом упадет и, соответственно, упадет его эффективность. Таким образом нам следует разбить третий этап на два процесса – отдельно изотеримческое охлаждение и отдельно изоэнтропное ( адиабатическое) сжатие.
Тогда цикл в TS координатах примет форму прямоугольника со сторонами dS и dT.
Определим КПД цикла как отношение подведенной теплоты к отведенной работе.
Тогда, численно для этого идеального цикла КПД можно представить как ((T1-T2)*dS)/(T1*dS), или, сокращая изменение энтропии, как (T1-T2)/T1.
Для обратного цикла ситуация принципиально не меняется, разве что нам требуется теплота, а подводим мы работу, поэтому формула немного меняется и КПД становится равным T2/(T1-T2). Но это цикл идеальный, или цикл Карно, а как быть с реальными циклами? Для получения абсолютной характеристики цикла ( Эксергетического КПД), достаточно отнести реальный КПД к КПД идеального цикла.
Как видно, энтропия из формулы исчезает, т.е. КПД идеальной системы не зависит от количества тепла, подводимого к системе, важно его «качество», т.е. подводимое тепло должно иметь как можно более высокую температуру, а отводимое, как можно более низкую.
На что же влияет энтропия? В первую очередь на удельную холодопроизводительность. Если цикл имеет КПД равный 0.95, но dQ минимален, то для подведения/отведения теплоты нам потребуется компрессор или насос огромных размеров. В то время, как цикл с несколько меньшим КПД сможет обеспечить существенно большую dQ.
Конечно, идеальный случай – максимально близкий к циклу Карно цикл, с эксергетическим КПД = 1 и с максимально возможным изменением энтропии. Но он физически невозможен, поэтому определим условия оптимизации таким образом:
При заданных температурах, процессы подвода и отвода тепла должны быть максимально приближены к изотермам, а количество отводимого и подводимого тепла должно быть максимально. Процессы сжатия и расширения газа должны происходить без подвода/отвода тепла, но с максимальным отводом/подводом работы.
Парокомпрессионный цикл очень удачно сочетает в себе большинство вышеуказанных требований.
Источник
2-й закон термодинамики. Энтропия. Определение энтропии. Эффективность теплового двигателя. Тепловой цикл Карно. Неубывание энтропии. Вариант для печати.
Второй закон связан с понятием энтропии, являющейся мерой хаоса (или мерой порядка). Второй закон термодинамики гласит, что для вселенной в целом энтропия возрастает.
Существует два классических определения второго закона термодинамики :
- Кельвина и Планка: Не существует циклического процесса, который извлекает количество теплоты из резервуара при определенной температуре и полностью превращает эту теплоту в работу. (Невозможно построить периодически действующую машину, которая не производит ничего другого, кроме поднятия груза и охлаждения резервуара теплоты)
- Клаузиуса: Не существует процесса, единственным результатом которого является передача количества теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. (Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара)
Оба определения второго закона термодинамики опираются на первый закон термодинамики, утверждающий, что энергия убывает. Второй закон связан с понятием энтропии (S).
Энтропия порождается всеми процессами, она связана с потерей системы способности совершать работу. Рост энтропии – стихийный процесс. Если объем и энергия системы постоянны, то любое измение в системе увеличивает энтропию. Если же объем или энергия системы меняются, энтропия системы уменьшается. Однако, энтропия вселенной при этом не уменьшается.
Для того, чтобы энергию можно было использовать, в системе должны быть области с высоким и низким уровнями энергии. Полезная работа производится в результате передачи энергии от области с высоким уровнем энергии к области с низким уровнем энергии.
- 100% энергии не может быть преобразовано в работу
- Энтропия может вырабатываться, но не может быть уничтожена
Эффективность теплового двигателя
Эффективность теплового двигателя, действующего между двумя энергетическими уровнями , определена в пересчете на абсолютные температуры
- η = ( Th – Tc ) / Th = 1 – Tc / Th
- где
- η = эффективность
- Th = верхняя граница температуры (K)
- Tc = нижняя граница температуры (K)
Для того, чтобы достичь максимальной эффективности Tc должна быть на столько низкой, на сколько это возможно. Чтобы эффект был 100% -м, Tc должна равнятся 0 по шкале Kельвина. Практически это невозможно, поэтому эффективность всегда меньше 1 (менее 100%).
- Изменение энтропии > 0 Необратимый процесс
- Изменение энтропии= 0 Двусторонний процесс (обратимый)
- Изменение энтропии < 0 Невозможный процесс (неосуществимый)
Энтропия определяет относительную способность одной системы влиять на другую. Когда энергия двигается к нижнему энергетическому уровню, где уменьшается возможность влияния на окружающую среду, энтропия увеличивается.
Определение энтропии
Энтропия в системе постоянного объема определяется как :
- dS = dH / T
- где
- S = энтропия (кДж/кг*К)
- H = энтальпия (кДж/кг) (иногда вместо dH записывают dQ = количество теплоты, сообщенное системе )
- T = абсолютная температура (K – градусы Кельвина)
Изменение энтропии системы вызвано изменением содержания тепла в ней. Изменение энтропии равно изменению тепла системы деленной на среднюю абсолютную температуру ( Ta):
Тепловой цикл Карно. Цикл Карно— идеальный термодинамический цикл.
dS = dH / Ta Сумма значений (dH / T) для каждого полного цикла Карно равна 0. Это происходит из-за того, что каждому положительному H противостоит отрицательное значение H.
В тепловом двигателе, газ (реверсивно) нагревается (reversibly heated), а затем охлаждается. Модель цика следующая: Положение 1 –( изотермическое расширение) –> Положение 2 –( адиабатическое расширение) –> Положение 3 –(изотермическое сжатие) –> Положение 4 –(адиабатическое сжатие) –> Положение 1
- Положение 1 – Положение 2: Изотермическое расширение
- Изотермическое расширение. В начале процесса рабочее тело имеет температуру Th , то есть температуру нагревателя. Затем тело приводится в контакт с нагревателем, который изотермически (при постоянной температуре) передаёт ему количество теплоты QH. При этом объём рабочего тела увеличивается. QH=∫Tds=Th (S2-S1) =Th ΔS
- Положение 2 – Положение 3: Адиабатическое расширение
- Адиабатическое (изоэнтропическое) расширение. Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура уменьшается до температуры холодильника.
- Положение 3 – Положение 4: Изотермическое сжатие
- Изотермическое сжатие. Рабочее тело, имеющее к тому времени температуру Tc, приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься, отдавая холодильнику количество теплоты Qc. Qc=Tc(S2-S1)=Tc ΔS
- Положение 4 – Положение 1: Адиабатическое сжатие
- Адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие. Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя.
При изотермических процессах температура остаётся постоянной, при адиабатических отсутствует теплообмен, а значит, сохраняется энтропия. Поэтому цикл Карно удобно представить в координатах T и S (температура и энтропия). Законы термодинамики были определены эмперическим путем (эксперементально). Второй закон термодинамики – это обощение экспериментов, связанных с энтропией. Известно, что dS системы плюс dS окружающей среды равно или больше 0 – закон неубывания энтропии. Энтропия адиабатически изолированной системы не меняется!
Пример – Энтропия при нагревании воды
- Процесс нагревания 1 кг воды от при нормальных условиях.C (273 до 373 K)o0 до 100
- C = 0 кДж/кг (удельная – на единицу массы)o при 0 см. удельная энтальпия для воды
- Удельная энтальпия для воды при 100oC = 419 кДж/кг
- Изменение удельной энтропии :
- dS = dH / Ta = ((419 кДж/кг) – (0 кДж/кг)) / ((273 К + 373 К)/2) = 1.297 кДж/кг*К
Пример – Энтропия при испарении воды
- Процесс превращения 1 кг воды при 100oC (373 K) в насыщенный пар при 100oC (373 K) при нормальных условиях.
- Удельная энтальпия пара при 100oC (373 K) до испарения = 0 кДж/кг
- Удельная теплота парообразования 100oC (373 K) при испарении = 2 258 кДж/кг
- Изменение удельной энтропии:
- dS = dH / Ta = (2 258 – 0) / ((373 + 373)/2) = 6.054 кДж/кг*К
Полное изменение удельной энтропии испарения воды – это сумма удельной энтропии воды (при 0oC) плюс удельная энтропия пара (при температуре 100oC).
Источник
Приветствую тебя, читатель Гиктаймс!
Многие слышали о такой загадочной штуке, как энтропия. Обычно её называют мерой хаоса, мерой неопределённости и ещё прибавляют, что она непременно растёт. Я с огромной болью переношу употребление имени Энтропии всуе и решил, наконец, написать ликбез по этому вопросу.
Второе начало
Что будет, если бросить футбольный мяч на землю? Очевидно, он несколько раз подпрыгнет, причём каждый следующий раз на всё меньшую высоту, а затем и вовсе упокоится на земле. А что будет, если в горячий чай опустить металлическую ложку? Ложка нагреется, чай остынет. Ничего сложного, не так ли? В каждом из этих примеров направление протекания процессов кажется очевидным: мяч не может подпрыгивать выше и выше и даже не может вечно подпрыгивать до одной высоты, а чай не может ещё больше охладить ложку. Из таких житейских очевидностей были выведены два постулата (равноценных), каждый из которых может в равной степени называться вторым началом термодинамики:
— единственным результатом любой совокупности процессов не может быть переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому (постулат Клаузиуса);
— теплота наиболее холодного из участвующих в процессе тел не может служить источником работы (постулат Томсона), т.е. единственным результатом любой совокупности процессов не может быть превращение теплоты в работу.
Не зря эти два утверждения названы постулатами, они аксиоматичны, доказать их нельзя, они лишь подтверждаются своими следствиями и всем человеческим опытом.
Вроде всё и ясно: горячие тела остывают, холодные нагреваются, энергия рассеивается. Но как насчёт ещё одной задачки? Смешали по 1 моль водорода, азота и аммиака при температуре 500 oС в реакторе объёмом 10 литров в присутствии катализатора:
В какую сторону пойдёт реакция: образования аммиака или его разложения? Ммм… Кажется, нам нужно больше уравнений.
Цикл дедушки Карно
Знает каждый инженер
в равно омега эр
КПД большего, чем в цикле Карно, достичь невозможно.
Цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат. Его КПД равен:
где Qн и Qх — количество теплоты, полученное от нагревателя и отданное холодильнику соответственно, Tн и Tх — температуры нагревателя и холодильника.
Слово о цикле
Так почему же КПД цикла Карно максимален, почему нельзя придумать ничего эффективнее? По определению, КПД есть отношение полезной работы к затраченной. Цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат. С изотермами всё просто: так как внутренняя энергия системы в ходе изотермического процесса не изменяется, вся теплота, полученная из внешней среды, идёт на совершение работы, т.е. КПД этого конкретного процесса 100%. Изотермы две: одна для расширения рабочего тела (в ходе этого процесса полезная работа совершается), а вторая для возвращения к исходному состоянию (в ходе этого процесса рабочее тело сжимается). Очевидно, что нет никакого смысла проводить оба этих процесса при одной и той же температуре, т.к. тогда вся энергия, полученная от нагревателя и затраченная на совершение полезной работы, пойдет на обратный процесс — сжатие. Сжимать опять же лучше по изотерме, потому что в этом случае тепло, отдаваемое холодильнику, уменьшает только объём системы, но не изменяет внутреннюю энергию, т.е. для достижения той же степени сжатия потребуется отдать меньшее количество теплоты, а эта теплота не идёт на совершение работы (и вообще отрицательна), т.е. уменьшает КПД. Для соединения двух изотерм используются две адиабаты. В ходе адиабатического процесса теплообмен с окружающей средой отсутствует, система тепла не получает, соответственно, КПД не уменьшается (увеличится он не может в силу того, что процесс-переводчик от одной изотермы к другой повторяется дважды за цикл, но в разных направлениях: вся работа, что совершается в прямом направлении, затратится в обратном).
Таким образом, полученная от нагревателя теплота расходуется на совершение работы, а затем часть работы расходуется на сжатие рабочего тела вновь по изотерме (работу в ходе адиабатных процессов оставим за скобками, она идёт за счёт внутренней энергии рабочего тела и мирно взаимоуничтожается). Чем меньше вторая величина, тем больше КПД.
А теперь приступим к мысленной гимнастике. Пусть у нас будут две тепловые машины с разными рабочими телами, работающие по циклу Карно. Причём первая работает равновесно (т.е., в любой момент времени система находится в равновесии, отсутствуют турбулентные потоки и прочие уменьшающие полезную работу и рассеивающие энергию штуки; работа равновесного процесса всегда больше работы неравновесного) и обратимо (т.е., процесс можно развидеть: провести его в обратном направлении так, чтобы и в системе, и в окружающей среде стало, как было; пример обратимого процесса — поглощение и испускание фотона одной и той же длины волны электроном, необратимого — нагрев тела), а о второй ничего неизвестно. Первая машина работает в обратном направлении, т.е. с помощью работы внешней среды над ней передаёт тепло от холодильника к нагревателю, вторая работает в обычном режиме. Холодильники и нагреватели машин соединены, а совершаемая работа равна по модулю:
т.е., работа, совершаемая второй машиной, идет на перенос тепла от холодильника к нагревателю первой (помним, что теплота, полученная телом, положительна, теплота, отданная окружающей среде, — отрицательна, работа, совершенная телом, — положительна, работа, совершенная над телом, — отрицательна; в формуле КПД все знаки уже учтены, поэтому теплоты берутся по модулю).
Пусть КПД второй машины больше, чем КПД первой, тогда с учётом (3) имеем:
Итак, в ходе всех перипетий и хитросплетений сюжета нагреватель получил теплоту QнI-QнII, а холодильник отдал теплоту QхI-QхII. Обе эти величины больше нуля, а суммарная работа обеих машин этому самому нулю равна. Т.е., кроме того, что теплота была перенесена от холодильника к нагревателю, не произошло больше ничего! Посмотрев ещё раз на постулат Клаузиуса, можно успокоиться и сказать, что такого не бывает.
Логично предположить, что условие (4) неверно, а значит, верно:
Если вторая машина работает равновесно и обратимо, то система становится симметричной, т.е. первую и вторую машину можно поменять ролями и ничего не изменится. Очевидно, этому случаю отвечает знак равенства. Отсюда можно сделать вывод о том, что КПД машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела. Таким образом, для установления формулы КПД достаточно рассмотреть любой частный случай. Уравнение (1) было получено из решения для идеального газа. Также можно сделать вывод о том, что КПД (как и работа) машины, работающей необратимо и неравновесно, меньше КПД машины, работающей обратимо и равновесно.
Из уравнения (1):
или
Алгебраическая сумма отношений теплот процесса к их температурам для цикла Карно равна нулю.
Любой циклический процесс можно разбить на множество бесконечно малых циклов Карно, и тогда предыдущее условие преобразится в:
Функции, изменение которых в результате любого циклического процесса равно нулю, называют функциями состояния. Их значение не зависит от пути процесса, а определяется только конечным состоянием.
Функцию состояния системы, изменение которой в ходе равновесного процесса равно отношению теплоты процесса к температуре его протекания, назвали энтропией:
(знак равенства относится к равновесным процессам, а знак больше — к неравновесным).
Если система изолирована, то есть не обменивается с окружающей средой ни веществом, ни энергией, то Q=0 (система не обменивается теплотой с окружающей средой), тогда:
или энтропия изолированной системы возрастает в неравновесных процессах и остаётся прежней в равновесных, или энтропия изолированной системы не убывает.
Amen. Мы дошли до той самой формулировки второго начала термодинамики!
Итого, из сказанного выше, никак нельзя сказать, что энтропия — мера чего-либо, это просто функция. Расти всегда она не обязана, никто не запрещает ей
убивать
убывать.
По пути мы решили ту самую задачку про моли (да придётся пролистать назад, я и сам её забыл, всё-таки, термодинамика – захватывающая штука!). Чтобы решить, в какую сторону пойдёт реакция, нужно изолировать систему и посчитать изменение энтропии в ходе процесса: будет убывать – туда не пойдёт, будет возрастать – туда пойдёт, ну и остаётся вариант с равновесием, чтобы остановиться и передохнуть.
Что ж, с байкой про «энтропия всегда растёт» всё ясно: кто-то не дочитал «изолированной системы», но поспешил нести истину (с) в массы. А вот что с «мерой хаоса»? Я покажу вам ещё один подход.
The second father
Обратимся к статистике. Допустим, у нас есть N шариков, которые могут располагаться на двух разных уровнях относительно земли, ёмкость первого уровня N1, второго — N-N1. Сколькими способами можно разместить эти шарики? Очевидно, это число сочетаний без повторений (порядок размещения на уровне неважен, но каждый шар – индивидуальность и считается отдельно, можете представить их пронумерованными):
По сути мы записали число микросостояний (расположение конкретных шариков по уровням), через которые возможно достижение одного и того же макросостояния (N1 шарик находится на первом уровне относительно земли, а N2 шариков — на втором). Такое число называется термодинамической вероятностью. От обычной вероятности она отличается тем, что её забыли поделить на общее число микросостояний всех возможных макросостояний, т.е. если варьировать N1 и складывать все W при постоянном числе уровней и N.
Перейдём от букв к цифрам. Пусть уровня всё ещё 2, шариков всего 40, уровни при этом вырождены (т.е. шарикам без разницы, на каком именно находиться), а шарики случайным образом перемещаются между ними. Термодинамическая вероятность распределения «20 там и 20 там» равна 14.0*1010, а «19 к 21» – 13.3*1010. То есть шанс посмотреть и увидеть «20 к 20» всего в 1.053 раза больше, чем «21 к 19», хотя интуитивно мы воспринимаем распределение пополам гораздо более вероятным, чем перевес. Вот что теорвер животворящий делает!
Но поглазели и хватит, вернёмся к теме разговора. Термодинамическая вероятность тоже позволяет судить о пути протекания процесса: если мы идём из состояния (макросостояния), W которого ничтожно мала, к состоянию с огромным
ЧСВ
W, то можно уверенно сказать, что процесс пойдёт. Верно и обратное. Осталось связать W и S. Ничего сложного, тем более за нас это сделал Больцман:
где k – постоянная Больцмана.
Слово об уравнении
Вывод этого уравнения тоже прост. Энтропия любит складываться, а вероятности – умножаться, значит:
Кхмкхм произведения равно/равен/равна сумме кхмкхм. Знакомое соотношение? И Больцману оно показалось знакомым! И он вывел на листе уравнение имени себя с постоянной имени себя. Последнюю, кстати, найти также несложно: мы не ограничивали никак до сих пор (и далее не будем) набор объектов, которые подчиняются этому уравнению, и для всех этих объектов постоянная одна и та же, значит, можно взять частный случай, посчитать постоянную для него и утвердить её кандидатуру. Частным случаем, кстати, был вновь выбран идеальный газ.
Обнаружив такую связь, можно определённо заявить, что с ростом энтропии растёт термодинамическая вероятность, то есть растёт количество вариантов на микроуровне, которые реализуют один вариант на макроуровне. Такое огромное число вариантов реализации одного состояния некоторые назвают хаосом, но я сделать это никак не возмусь. Весь этот «хаос» подчинен закономерностям и Великому Рандому, который не хаос, а именно что Господин Случай. Я бы назвал энтропию – с точки зрения вероятностного подхода – мерой инвариантности системы и вам советую поступать так же!
Дописанная пятая страница в wordе мне подсказывает, что пора закругляться, хотя хотелось бы ещё сказать пару слов о границах применимости энтропии, её характере и тепловой смерти Вселенной. Но это потом, а сейчас пора спать…
Литература
1. Герасимов Я.И. и др. «Курс физической химии», том 1 – Москва, из-во «Химия», 1964 г. – 624 с.
Источник