Задачи на циклы тепловые машины

Тема. Решение задач по теме “Физические принципы работы тепловых машин. Циклы тепловых машин. К.п.д. тепловых двигателей”.

Цели:

• помочь учащимся сформулировать принципы работы тепловой машины, разобраться в ее принципиальном, с точки зрения физики, устройстве;
• научить вычислять полезную работу, совершенную тепловой машиной за цикл;
• освоить методы расчета к.п.д. тепловых двигателей.

Ход занятия

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.

Прежде чем приступить к выполнению задания, следует сформулировать физические принципы работы тепловой машины, вспомнить, что работа за цикл определяется площадью под кривой цикла, определить понятие к.п.д. тепловой машины, кратко рассмотреть обратимый цикл Карно и его к.п.д., при этом обратив внимание, что значение к.п.д. обратимого цикла Карно ставит теоретический предел возможному значению к.п.д. реальной тепловой машины.

Качественные задачи

1. Восходящий от поверхности земли поток воздуха представляет собой своеобразный тепловой двигатель. Укажите в нем основные части, присущие любому тепловому двигателю.
2. Что является нагревателем и холодильником в ракетном двигателе?
3. Станет ли к.п.д. тепловой машины равным 100 %, если трение в частях машины свести к нулю?
4. Какие пути вы можете указать для повышения к.п.д. тепловых двигателей?
5. Почему в качестве источников энергии затруднительно использовать внутреннюю энергию вод мирового океана и земной атмосферы?

Примеры решения расчетных задач

Задача 1.

Рабочее вещество, внутренняя энергия которого U связана с давлением P и объемом V соотношением U = kPV, совершает термодинамический цикл, состоящий из изобары, изохоры и адиабаты (рис. 1). Работа, совершенная веществом во время изобарного процесса, в m = 5 раз превышает работу внешних сил по сжатию вещества, совершенную при адиабатическом процессе. К.п.д. цикла η=1/4. Определите k.

Решение:

Подставляя (5) и (6) в (1) и решая относительно k, находим

.

Ответ: k=2,2.

Задача 2.

Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Карно между изотермами T и T1 (T1>T) (рис. 2). Холодильником является резервуар, температура которого постоянна и равна T2 = 200 К (T2T). Теплообмен между рабочим веществом и холодильником осуществляется посредством теплопроводности. Количество теплоты, отдаваемое в единицу времени холодильнику, q = α(T–T2), где α = 1кВт/К. Теплообмен рабочего вещества с нагревателем происходит непосредственно при T1 = 800 К. Полагая, что продолжительность изотермических процессов одинакова, а адиабатических – весьма мала, найдите температуру “холодной” изотермы T, при которой мощность тепловой машины наибольшая. Определите наибольшую мощность тепловой машины.

Решение:

Из (7) видно, что N = Nmax приК.

кВт.

Ответ: наибольшая мощность машины равна 100 кВт.

Задача 3.

В тепловой машине ν молей идеального одноатомного газа совершают замкнутый цикл, состоящий из процессов 1–>2 и 2–>3, в которых давление P газа линейно зависит от занимаемого им объема V, и изохорического процесса 3–>1 (рис. 3). Величины P0 и V0 считаются известными. Найдите:

1. температуру и давление газа в точке 3;
2. работу, совершенную газом за цикл;
3. к.п.д. машины.

Решение:

Давление, объем и температуру в точках 1, 2 и 3 обозначим через P, V и T с соответствующими индексами.

Итак, совершая полный цикл, газ получает тепло на участках 3–>1 и 1–>К. Количество полученного на этих участках тепла определяется равенствами (5) и (11).

Работа, совершенная газом за цикл, найдена в (4).

Теперь есть все данные для определения к.п.д. цикла.

Ответ: к.п.д. рассмотренного цикла равен 32 %.

Задача 4.

Идеальная холодильная машина имеет в качестве холодильника резервуар с водой при 0°С, а в качестве нагревателя – резервуар с кипящей водой. Какую работу надо совершить, чтобы превратить в лед 1 кг воды? Какое количество воды в нагревателе превратится при этом в пар? Удельная теплота плавления льда λ = 340 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 2260 кДж/кг.

Решение:

Холодильная машина работает по такому принципу: за счет внешней механической работы тепло отнимается от более холодного резервуара и передается более горячему резервуару.

Полезный эффект холодильной машины определяется количеством теплоты Qx, отобранным у охлаждаемого тела, а затраченная энергия – это внешняя работа A, совершенная над рабочим телом. Отношение

обычно называют холодильным коэффициентом.

Если холодильная машина работает по так называемому идеальному циклу – обратному циклу Карно (цикл Карно теперь обходится против часовой стрелки), то

Из этой формулы видно, что ε может быть меньше, больше или равен 100 %. Действительно, возможно построить холодильную машину, у которой разность температур нагревателя и холодильника будет больше, меньше или равна температуре холодильника.

Тот факт, что ε может быть больше 100 %, иногда вызывает вопрос – не нарушается ли при этом закон сохранения энергии. На самом деле никакого противоречия с законом сохранения энергии нет. Тепло, отработанное у охлаждаемого тела, и энергия, затраченная на совершение работы извне, вовсе не переходят друг в друга, а отдаются нагревателю (обычно у холодильных машин им является окружающая среда).

Холодильный коэффициент идеальной машины, работающей в заданном по условию задачи температурном интервале, равен

При замерзании 1 кг воды выделяется количество теплоты

Совершенная при этом работа

Нагреватель получает количество теплоты Qн

Следовательно, в пар превратится масса воды

Задачи для самостоятельной работы

1. Тепловая машина имеет коэффициент полезного действия (к.п.д.) η = 20 %. Каким станет ее к.п.д., если количество теплоты, потребляемое за цикл, увеличится на 40 %, а количество теплоты, отдаваемое холодильнику, уменьшится на 20 %?

Ответ: к.п.д. машины стал, то есть увеличился, и составляет примерно 54 %.

2. Рассчитайте к.п.д. циклов, представленных на рис. 4.

Ответ:

3. На рис. 5 показаны два замкнутых термодинамических цикла, произведенных с идеальным одноатомным газом 1–>2–>3–>4–>1 и 1–>5–>6–>4–>1. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?

Ответ: для второго цикла к.п.д. выше, η1=0,74η2 .

4. Найдите к.п.д. цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат (рис. 6). Рабочим веществом является азот. Известно, что в пределах цикла объем газа изменяется в 10 раз, то есть Vmax / Vmin=10 .

Ответ: к.п.д. цикла равен 60 %.

5. Определите к.п.д. цикла, показанного на рис. 7. Газ идеальный одноатомный. Участки 2–>3 и 4–>5 на чертеже представляют собой дуги окружностей с центрами в точках O1 и O2.

Ответ: к.п.д. цикла равен 19 %.

Рекомендуемая литература

1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 3. Строение и свойства вещества. – М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. – С. 142-170.
2. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. – М.: Физматлит, 2005. – С. 88-90.
3. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. – М.; Ростов н/Д: Издательский центр “Март”, 2004. – С. 254-268.