Вывод формул кпд цикла карно

В термодинамике цикл Карно́ или процесс Карно́ – это идеальный[1]круговой процесс, состоящий из двух адиабатных и двух изотермических процессов[2]. В процессе Карно термодинамическая система выполняет механическую работу за счёт обмена теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой называется нагревателем, а с более низкой температурой – холодильником[3].

Цикл Карно назван в честь французского учёного и инженера Сади Карно, который впервые его описал в своём сочинении «О движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» в 1824 году[4][5].

Поскольку идеальные процессы могут осуществляться лишь с бесконечно малой скоростью, мощность тепловой машины в цикле Карно равна нулю. Мощность реальных тепловых машин не может быть равна нулю, поэтому реальные процессы могут приближаться к идеальному процессу Карно только с большей или меньшей степенью точности.

Коэффициент полезного действия (КПД) любой тепловой машины не может превосходить КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника[6]. По этой причине, позволяя оценить верхний предел КПД тепловой машины, цикл Карно важен для теории тепловых машин. В то же время КПД цикла Карно настолько чувствителен к отклонениям от идеальности (потерям на трение), что данный цикл никогда не применяли в реальных тепловых машинах[K 1][8].

Описание цикла Карно[править | править код]

Рис. 1. Цикл Карно в координатах T-S

Рис. 2. Цикл Карно в координатах p-V

Рис. 3. Цикл Карно на термодинамической поверхности идеального газа

Пусть тепловая машина состоит из нагревателя с температурой , холодильника с температурой и рабочего тела.

Цикл Карно состоит из четырёх обратимых стадий, две из которых осуществляются при постоянной температуре (изотермически), а две – при постоянной энтропии (адиабатически). Поэтому цикл Карно удобно представить в координатах (температура) и (энтропия).

1. Изотермическое расширение (на рис. 1 – процесс A→B). В начале процесса рабочее тело имеет температуру , то есть температуру нагревателя. При расширении рабочего тела его температура не падает за счет передачи от нагревателя количества теплоты , то есть расширение происходит изотермически (при постоянной температуре) . При этом объём рабочего тела увеличивается, оно совершает механическую работу, а его энтропия возрастает.

2. Адиабатическое расширение (на рис. 1 – процесс B→C). Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом температура тела уменьшается до температуры холодильника , тело совершает механическую работу, а энтропия остаётся постоянной.

3. Изотермическое сжатие (на рис. 1 – процесс C→D). Рабочее тело, имеющее температуру , приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься под действием внешней силы, отдавая холодильнику количество теплоты . Над телом совершается работа, его энтропия уменьшается.

4. Адиабатическое сжатие (на рис. 1 – процесс D→A). Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается под действием внешней силы без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя, над телом совершается работа, его энтропия остаётся постоянной.

Обратный цикл Карно[править | править код]

В термодинамике холодильных установок и тепловых насосов рассматривают обратный цикл Карно, состоящий из следующих стадий[9][10]: адиабатического сжатия за счёт совершения работы (на рис. 1 – процесс C→B); изотермического сжатия с передачей теплоты более нагретому тепловому резервуару (на рис. 1 – процесс B→A); адиабатического расширения (на рис. 1 – процесс A→D); изотермического расширения с отводом теплоты от более холодного теплового резервуара (на рис. 1 – процесс D→C).

КПД тепловой машины Карно[править | править код]

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно

Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдаёт холодильнику

Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен

Первая и вторая теоремы Карно[править | править код]

Из последнего выражения следует, что КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника, но не зависит ни от устройства машины, ни от вида или свойств её рабочего тела. Этот результат составляет содержание первой теоремы Карно[11]. Кроме того, из него следует, что КПД может составлять 100 % только в том случае, если температура холодильника равна абсолютному нулю. Это невозможно, но не из-за недостижимости абсолютного нуля (этот вопрос решается только третьим началом термодинамики, учитывать которое здесь нет необходимости), а из-за того, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм.

Поэтому максимальный КПД любой тепловой машины не может превосходить КПД тепловой машины Карно, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника. Это утверждение называется второй теоремой Карно[12][13]. Оно даёт верхний предел КПД любой тепловой машины и позволяет оценить отклонение реального КПД от максимального, то есть потери энергии вследствие неидеальности тепловых процессов.

Связь между обратимостью цикла и КПД[править | править код]

Для того чтобы цикл был обратимым, в нём должна быть исключена передача теплоты при наличии разности температур, иначе нарушается условие адиабатичности процесса. Поэтому передача теплоты должна осуществляться либо в изотермическом процессе (как в цикле Карно), либо в эквидистантном процессе (обобщённый цикл Карно или, для примера, его частный случай Цикл Брайтона). Для того чтобы менять температуру рабочего тела от температуры нагревателя до температуры холодильника и обратно, необходимо использовать либо адиабатические процессы (они идут без теплообмена и, значит, не влияют на энтропию), либо циклы с регенерацией тепла при которых нет передачи тепла при разности температур. Мы приходим к выводу, что любой обратимый цикл может быть сведён к циклу Карно.

Примером обратимого цикла, не являющегося циклом Карно, но интегрально совпадающим с ним, является идеальный цикл Стирлинга: в двигателе Стирлинга добавлен регенератор, обеспечивающий полное приближение цикла к циклу Карно с достижением обратимости и тех же величин КПД[14]. Возможны и другие идеальные циклы, в которых коэффициент полезного действия определяется по той же формуле, что и для циклов Карно и Стирлинга, например цикл Эрикссона (англ.)русск., состоящий из двух изобар и двух изотерм[14].

Если же в цикле возникает передача теплоты при наличии разности температур, а таковыми являются все технические реализации термодинамических циклов, то цикл утрачивает свойство обратимости. Иначе говоря, посредством отведённой в цикле механической работы становится невозможным получить исходную теплоту. КПД такого цикла будет всегда меньше, чем КПД цикла Карно.

См. также[править | править код]

• Термодинамические циклы
• Первое начало термодинамики
• Второе начало термодинамики
• Термодинамическая энтропия
• Термодинамические потенциалы

Комментарии[править | править код]

1. ↑ В реальных тепловых машинах цикл Карно не используют, поскольку практически невозможно осуществить процессы изотермического сжатия и расширения. Кроме того, полезная работа цикла, представляющая собой алгебраическую сумму работ во всех четырех составляющих цикл частных процессах, даже в идеальном случае полного отсутствия потерь мала по сравнению с работой в каждом из частных процессов, то есть мы имеем дело с обычной ситуацией, когда итоговый результат представляет собой малую разность больших величин. Применительно к математическим вычислениям это означает высокую отзывчивость результата даже на небольшие вариации значений исходных величин, а в рассматриваемом нами случае соответствует высокой чувствительности полезной работы цикла Карно и его КПД к отклонениям от идеальности (потерям на трение). Эта связь с отклонениями от идеальности настолько велика, что с учетом всех потерь полезная работа цикла Карно приближается к нулю[7].

Примечания[править | править код]

1. ↑ То есть без потерь, в первую очередь на трение.
2. ↑ Карно цикл // Италия – Кваркуш. – М. : Советская энциклопедия, 1973. – (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969-1978, т. 11).
3. ↑ Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 94.
4. ↑ Carnot S. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. – Paris: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878. – 102 p. (фр.)
5. ↑ Второе начало термодинамики. (Работы Сади Карно – В. Томсон – Кельвин – Р. Клаузиус – Л. Больцман – М. Смолуховский) / Под. ред. А. К. Тимирязева. – Москва-Ленинград: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 17-61.
6. ↑ Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 113-114.
7. ↑ Бэр Г. Д., Техническая термодинамика, 1977, с. 112.
8. ↑ Кинан Дж., Термодинамика, 1963, с. 93.
9. ↑ Николаев Г. П., Лойко А. Э., Техническая термодинамика, 2013, с. 172.
10. ↑ Бахшиева Л. Т. и др., Техническая термодинамика и теплотехника, 2008, с. 148.
11. ↑ Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 95.
12. ↑ Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 113.
13. ↑ Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, 2000, с. 35.
14. ↑ 1 2 Крестовников А. Н., Вигдорович В. Н., Химическая термодинамика, 1973, с. 63.

Литература[править | править код]

• Carnot S. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. – Paris: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878. – 102 p. (фр.)
• Бахшиева Л. Т., Кондауров Б. П., Захарова А. А., Салтыкова В. С. Техническая термодинамика и теплотехника / Под ред. проф А. А. Захаровой. – 2-е изд., испр. – М.: Академия, 2008. – 272 с. – (Высшее профессиональное образование). – ISBN 978-5-7695-4999-1.
• Бэр Г. Д. Техническая термодинамика. – М.: Мир, 1977. – 519 с. (недоступная ссылка)
• Кинан Дж. Термодинамика / Пер с англ. А. Ф. Котина под ред. М. П. Вукаловича. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 280 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. – Издание 3-е, доп. – М.: Наука, 1976. – 584 с. – («Теоретическая физика», том V).
• Крестовников А. Н., Вигдорович В. Н. Химическая термодинамика. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Металлургия, 1973. – 256 с.
• Николаев Г. П., Лойко А. Э. Техническая термодинамика. – Екатеринбург: УрФУ, 2013. – 227 с.
• Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. – 2-е изд., испр. и доп. – Новосибирск: Изд-во Носиб. ун-та, 2000. – 608 с. – ISBN 5-7615-0383-2.
• Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. – М.: Астрель, 2001. – Т. 3. – 208 с. – 7000 экз. – ISBN 5-17-004585-9.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. – Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. – 5 изд., испр.. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 544 с. – ISBN 5-9221-0601-5.

Источник

Для работы любой тепловой машины по замкнутому циклу необходима внешняя среда, которую условно можно представить себе как два тела – нагреватель, находящийся при температуре Тmах, и холодильник, находящийся при температуре Tmin(Tmin < Тmах). Предполагается, что при контакте с нашей системой температуры нагревателя и холодильника не меняются. При контакте с нагревателем система получает тепло, при контакте с холодильником – отдает его.

В термодинамике существует теорема Карно (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Леонар Сади Карно (французский физик и военный инженер)

При заданных температурах нагревателя и холодильника максимально возможный КПД тепловой машины не зависит от природы рабочего тела машины и определяется формулой

Реализация максимально возможного КПД достигается в так называемом цикле Карно, когда идеальный газ проходит замкнутый цикл, составленный из двух адиабат и двух изотерм (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Цикл Карно (обходится по часовой стрелке) – комбинация двух изотерм 1-2, 3-4 и двух адиабат 2-3 и 4-1; теплообмен со средой осуществляется на изотермических участках цикла: на участке 1-2 газ получает теплоту Q1, а на участке 3-4 отдает теплоту Q2

Убедимся, что показанный замкнутый процесс действительно имеет КПД, соответствующий формуле (5.5). Температура системы равна T1 в точках 1, 2 и T2 в точках 3, 4. Значения остальных термодинамических параметров (р, V) будут иметь в качестве индекса номер соответствующей точки на диаграмме. Нам надо вычислить количества полученной Q1, и отданной Q2теплоты, найти совершенную газом работу АЦ = Q1 – Q2 и определить КПД цикла. Сразу заметим, что на участках 2-3 и 4-1 система не обменивается теплом с внешней средой. Следовательно, теплоту Q1газ получает на участке 1-2, а теплоту Q2отдает на участке 3-4. Рассмотрим подробнее различные участки цикла.

См. анимацию «Цикл Карно»

Изотерма 1-2. На этом участке газ находится в контакте с нагревателем и происходит изотермическое расширение от объема V1 до объема V2. Температура Т1 не меняется, следовательно, не изменяется внутренняя энергия, а вся полученная теплота расходуется на совершение газом работы:

Величину работы газа при изотермическом процессе мы уже вычисляли ранее, так что с учетом формулы (2.13) находим

Адиабата 2-3. Здесь система отсоединяется от нагревателя и не обменивается теплом с внешней средой: Q23 = 0. Газ продолжает расширяться, но уже адиабатно. Работа совершается за счет внутренней энергии газа, и его температура падает до значения Т2. На этом участке цикла нам нужна информация, доставляемая уравнением адиабаты:

Изотерма 3-4. Система подключается к холодильнику, и газ начинает сжиматься. Внутренняя энергия остается неизменной, над газом совершается работа (А34 < 0), а выделяющееся

тепло

передается холодильнику. Имеем аналогично (5.6)

Адиабата 4-1. Система отключена от внешней среды и продолжает сжиматься изотермически, что приводит к повышению ее температуры до Т1. В конечном итоге система возвращается в первоначальное состояние. Поскольку точки 4 и 1 лежат на адиабате, получаем связь объемов и температур, аналогичную (5.7):

Из уравнений (5.7) и (5.9) находим отношения объемов

откуда следует, что

Поэтому отдаваемую холодильнику теплоту Q2(см. уравнение (5.8)) можно записать как

Используя выражение (5.6) для теплоты, полученной системой, находим совершенную в ходе цикла работу

Из проведенного анализа следует также, что максимальная температура в цикле равна Тmах = Т1, а минимальная – Тmin = Т2. Если разделить (5.12) на (5.6), то немедленно получим выражение (5.5) для КПД цикла Карно, из которого выпадают все параметры, кроме температур холодильника и нагревателя.

Пример 1. Котел тепловой станции работает при температуре около t1 = 550 °С. Отработанное тепло отводится к реке при температуре около t2 = 20 °С. Найдем максимально возможный КПД этой станции (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Схема работы тепловой машины Карно

Поскольку в формуле для КПД цикла Карно используются абсолютные температуры, надо перейти от шкалы Цельсия к шкале Кельвина: Т1 = 550 + 273 = 823 К, Т2 = 20 + 273 = 293 К. Теперь находим КПД тепловой станции:

Конечно, реальный КПД станции заметно ниже.

Если цикл Карно осуществить в обратном направлении, то есть против часовой стрелки на рис. 5.2, то для определения эффективности холодильной установки надо использовать формулы (5.3), (5.4) и выражения (5.6), (5.11). Получаем тогда

Печально, но чем ниже температура внешней среды Т1, тем меньше мы нуждаемся в холодильнике, и тем эффективнее он работает.

Рис. 5.5. Схема работы холодильной установки

Приведем численный пример. Если кондиционер поддерживает в комнате температуру t2 = 20 °С, а температура наружного воздуха равна t1 = 30 °С, то для холодильного коэффициента имеем

а для КПД холодильника

Конечно, на самом деле температура тепловыделяющего элемента больше наружной температуры на 20-30 градусов, так что разность температур может достигать 30-40 градусов, что приводит к значениям

Напомним, что речь идет об идеальных установках, работающих по циклу Карно. Реальный типичный кондиционер потребляет мощность 750 Вт, перекачивая за час около 5 МДж тепловой энергии. Это значит, что за секунду кондиционер совершает работу А = 750 Дж и отнимает у воздуха в комнате теплоту

Отсюда находим

Мы видим, что реальный кондиционер гораздо менее эффективен, нежели идеальный холодильник Карно.

Пример 2. Пусть в домашнем холодильнике поддерживается температура t2 = -3 °С (Т2 = 270 К), а температура в кухне равна t1 = 27 °С (T1 = 300 К). Пусть далее мотор холодильника потребляет мощность N = 200 Вт. Предполагая, что холодильник работает по циклу Карно и что тепловыделяющий элемент имеет температуру окружающего воздуха, определим мощность потока тепловой энергии, перекачиваемой из камеры холодильника в кухню.

За время t мотор совершит работу

КПД холодильника равен

откуда находим количество теплоты, поступающее в кухню в единицу времени:

Обратите внимание, что холодильник работает как весьма эффективный обогреватель помещения. Надо только оплачивать потребляемую мотором мощность 200 Вт, а в кухню поступит в 10 раз большая энергия, 90 % которой перекачивается из камеры холодильника (90 % – КПД холодильника в этом примере). Любопытно, что если бы вместо холодильника был включен обогреватель той же мощности, то он нагревал бы помещение в 10 раз слабее.

Наши численные оценки можно рассматривать как пример теплового загрязнения окружающей среды, свойственного технической цивилизации.

Дополнительная информация

https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/physics/thermodynamics.htm – Я. де Бур Введение в молекулярную физику и термодинамику, Изд. ИЛ, 1962 г. – стр. 202-205, ч. 2, гл. 2, § 10: описан процесс ожижения газа Клода – Гейландта.

Источник