Тепловая машина работает по циклу состоящему из изохоры

По мере дальнейшего опускания стакана в него начнет затекать вода. Сила тяжести, действующая на стакан с жид­костью, будет увеличиваться, а F – уменьшаться линейно с х.

При х = х2 сила F достигнет нулевого значения и стакан утонет:

mg + Мg (h/H) – Мg = F(x2) =0, откуда h = H(1- m/M).

Нетрудно показать, что это произойдет, когда уровень воды в сосуде станет равным первоначальному, поэтому x2= h.

Построим график зависимости F(x), 0 ≤ х ≤х2 (рис. 21). Совершенной работе соответствует пло­щадь под графиком: А=.

Обратите внимание на то, что результат не зависит от диаметра сосуда.

Задача 4. Точка на изохоре. В процессе 1-2-3 температура идеального газа изменяется от T1 в точке 1 до Т3 в точке 3, принимая значение Т2 = (Т1+Т3)/2 в точке 2, которой соответству­ет объем V. Найдите построением с помощью циркуля и линейки без делений положение точки 2 на графике (рис.22).

Возможное решение

Через точку 1 проведем изобару до пересечения в точке А с изохорой V2, (рис. 23). Соединим отрезком точки А и О. Через точку 1 проведем изохору до пересечения в точке В с прямой ОА. Через точку В проведем изобару до пересечения в точке 1′ с изохорой V2. Полученная точка 1′ лежит на изотерме Т1, так как из построения следует

.

Аналогично построим точку 3′ пересечения изотермы T3 с изохорой V2. В изохорическом процессе давление прямо пропорционально температуре. Поскольку , то , поэтому точка 2 лежит посередине отрезка 1’3′.

Задача 5. Максимальный КПД цикла (1). В тепловой машине в качестве рабочего тела исполь­зуют идеальный одноатомный газ. Машина работает по циклу (рис. 24), состоящему из изохоры 1-2, изобары 2-3 и процесса 3-1, в котором давление и объем связаны линейной зависимостью. Найдите максимальный КПД

такого цикла.

Возможное решение

Пусть ν— количество газа, R — универсальная газовая постоянная. Система получает теплоту на участках 1-2 и 2-3: Q12= ν CvΔT12=3/2 νR(T2 –T1),

Q23 =νCp ΔT32 =5/2ν R(T3–T2), где Ti — температура в соответствующем состоянии. Введем коэффициен­ты α и β. α = p2/p1, β = V3/V1, где рi и Vi— давление и объем в соответствующем состоянии.

Используя урав­нение Менделеева – Клапейрона pV = ν RT, получаем выражение для теплоты, подводимой к системе за цикл:

.

Работа газа за цикл равна площади треугольника 1-2-3 в координатах (V, p): A=. КПД цикла .

КПД максимален, когда выражение в скобках минимально. Поскольку оно положительно и стремится к 0 при больших α и β, то .

11 класс

Задача 1. Взвешивание Земли. Определите массу m Юпитера. Считайте известными среднюю плотность Юпитера ρ = 1,25 · 103 кг/м3, ускорение свободного падения на его поверхно­сти g = 24,9 м/с2 и гравитационную постоянную G = 6,67 ·10-11 Н·м2/кг2.

Возможное решение

По закону всемирного тяготения , откуда .

Следовательно, кг.

Задача 2. Двумерные колебания. На гладкой горизонтальной поверхности находится грузик, прикреплен­ный двумя Одинаковыми пружинами к стенкам. Когда грузик находится в положении равновесия, пружины имеют одинаковое растяжение δ. Введем систему координат Оху. Траектория грузика, совершающего малые колебания, изображена на рисунке 25. Определите δ, если длина пружин в нерастянутом состоянии равна а.

Возможное решение

При малом смещении Δx вдоль оси x возникает возвращающая сила F1=2kΔx. Частота малых колебаний вдоль оси х равна , где m — масса грузика, k — жесткость пружины. При малом смещении вдоль оси y возникает возвращающая сила F2=2F, где F = kδ — сила натяжения пружин в положении равновесия. Значит, частота малых колебаний вдоль оси у равна. Из картины двумерных колебаний видно, что = 1/3. Следователь­но, , откуда .

Задача 3. Максимальный КПД цикла (2). В тепловой машине в качестве рабочего тела ис­пользуют идеальный одноатомный газ. Машина ра­ботает по циклу (рис. 26), состоящему из изобары 1-2, процесса 2-3, в котором давление прямо пропор­ционально объему, и адиабаты 3-1. Найдите макси­мальное значение КПД такого цикла.

Возможное решение

Обозначим количество газа в системе через v, его молярные теплоемкости при постоянном объеме или давлении через Сv и Ср соответственно. Симво­лом Δ будем обозначать малые изменения соответствующих величин. Для любого процесса молярная теплоемкость , где ΔQ — теплота, подведенная к системе, ΔT – изменение температуры, ΔU = ν СvΔT – изменение внутренней энергии, ΔA= рΔV — работа систе­мы. Из закона Менделеева – Клапейрона pV = vRT находим рΔV + VΔр = νRΔT. Отсюда для процесса 2-3 получаем ,

где использована линейная связь между давлением и объемом: р = αV, α= const, Δр = αΔV. Подставим выражения для ΔU и ΔА в формулу для теплоемкости: .

Найдем теперь КПД цикла. Пусть T1, Т2, T3 — температуры в соответ­ствующих состояниях системы, тогда на участке 1-2 газ получает теплоту Q12= ν Cp(T2–T1), а на участке 2-3 отдает теплоту Q23= ν C (T2–T3).

На участке 3-1 теплообмена нет.

КПД цикла

В процессе 3-1 над системой совершается работа, поэтому Т1> T3. Следо­вательно, при увеличении T2 выражение в скобках стремится к 1 — своему минимуму. Таким образом, , где использовано Сv/Ср = 3/5.

Задача 4. Продавец воздуха. Говорят, что в распоряжении главного злодея романа А. Беляева «Прода­вец воздуха» была электростанция мощностью W = 6 ГВт (мощность Красно­ярской ГЭС). Оцените, через какое время τ после начала осуществления этого «коварного плана» по откачиванию воздуха из атмосферы и его сжижению жители Земли ощутят снижение атмосферного давления? Считайте, что дав­ления от р1 = 730 мм рт. ст. до р2 = 780 мм рт. ст. воспринимаются как допу­стимые отклонения от нормального, теплота, отнимаемая у сжижаемого газа, передается воде мирового океана. Атмосфера и гидросфера имеют одинако­вую среднюю температуру tо = 4°С. Радиус Земли r = 6400 км, плотность ртути ρ = 13600 кг/м3. Для воздуха: молярная масса μ= 29 кг/кмоль, тем­пература кипения t≈196°С, теплота парообразования L≈6,7 кДж/моль, нормальное атмосферное давление ро = 760 мм рт. ст.

Возможное решение

Жители Земли ощутят изменение атмосферного давления, если масса ат­мосферы М= 4πr2 ро /g уменьшится на .