Температура холодильника тепловой машины работающей по циклу карно уменьшили

2017-10-14   
Какую минимальную мощность должен потреблять мотор морозильника, работающего по циклу Карно, в камере которого поддерживается температура $t_{1} = – 23^{ circ} С$, если в нее через стенки поступает количество теплоты, равное $q = 0,1 МДж$ за время $tau = 1 ч$? Температура радиатора морозильника равна $t_{2} = 57^{ circ} С$, а КПД мотора равен $eta_{м} = 0,8$.

Решение:

По условию задачи морозильник работает по циклу Карно. В школьном курсе обычно не анализируется работа холодильных тепловых машин. Рассматриваются лишь тепловые двигатели. Однако поскольку цикл Карно является обратимым, соотношения между совершаемой рабочим веществом работой, получаемым от нагревателя и передаваемым холодильнику тепловой машины количествами теплоты не должны изменяться при изменении направления прохождения цикла.

По определению коэффициент полезного действия цикла теплового двигателя равен $eta = A/Q_{н}$, где $A$ – работа, совершенная рабочим веществом двигателя за цикл, a $Q_{н}$ – количество теплоты, полученное этим веществом от нагревателя за то же время. Согласно второму закону термодинамики (в формулировке Карно), КПД цикла Карно определяется только абсолютными температурами нагревателя $T_{н}$ и холодильника $T_{к}$ и является максимально достижимым. Ои ие зависит от рабочего вещества двигателя и равен $eta = 1 – T_{х}/T_{н}$. Поэтому максимальная работа, которую может совершить рабочее вещество за цикл, равна $A = (1 – T_{х}/T_{н})Q_{н}$. Вместе с тем, полагая, как обычно, изменение механической энергии рабочего вещества как целого за цикл равным нулю, на основании первого закона термодинамики можно утверждать, что количество теплоты, отданное за цикл этим веществом холодильнику двигателя, должно быть равно $Q_{х} = Q_{н} – A$ . Таким образом, максимальная работа $A$, которую может совершить рабочее вещество за цикл, и количество теплоты $Q_{х}$, отдаваемое рабочим веществом холодильнику двигателя за это же время, должны удовлетворять соотношению: $A = Q_{х}(T_{н}/T_{х} – 1)$. Отметим, что мгновенная мощность, развиваемая рабочим веществом двигателя на различных участках цикла, не только не остается постоянной, но даже изменяет свой знак. Поэтому, говоря о мощности двигателя, речь ведут именно о средней за цикл мощности.

Поскольку длительность цикла тепловых машин обычно существенно меньше одного часа, на основании сказанного можно утверждать, что если в камеру морозильника за время $tau$ поступает количество теплоты $q$, то минимальная мощность, которую нужно затратить, чтобы рабочее вещество морозильника поддерживало в камере неизменную температуру, должна быть $N = q(t_{2} – t_{1})/[(t_{1} + 273) tau]$. В общем случае это равенство не является точным, прежде всего потому, что время $tau$ может быть и не кратно длительности цикла работы морозильника. Поэтому здесь и использовано приближенное соотношение для пересчета температуры, заданной по шкале Цельсия, в абсолютную температуру Кельвина. Отметим также, что исходные данные заданы двумя значащими цифрами, и поэтому даже если бы было известно, что за время t совершается целое число циклов, использовать точное соотношение для пересчета температур нецелесообразно.

Наконец, поскольку КПД мотора по определению равен отношению развиваемой им мощности к потребляемой от источника, искомая минимальная мощность должна быть равна:

$N_{м} = frac{(t_{2} – t_{1})q}{(t_{1} + 273) tau eta_{м}} approx 11 Вт$.