Работа затраченная в цикле

Лекция №4 – 2 ч.

Циклы тепловых двигателей и холодильных машин.

Прямой и обратный циклы Карно. Термический КПД, холодильный коэффициент. Циклы реальных тепловых двигателей и холодильных машин.

Общая формулировка второго закона термодинамики

Из первого закона термодинамики следует, что взаимное превращение тепловой и механической энергии в двигателе должно осуществляться в строго эквивалентных количествах. Двигатель, который позволял бы получать работу без энергетических затрат, называется вечным двигателем первого рода. Ясно, что такой двигатель не возможен, ибо он противоречит первому закону термодинамики. Поэтому первый закон можно сформулировать в виде сле­дующего утверждения: вечный двигателя первого рода невозможен.

В 1755 г. французская Академия наук «раз и навсегда» объявила, что не будет больше принимать на рассмотрение какие-либо проекты вечных двигателей.

Рисунок 1 – Термодинамическая схема теплового двигателя

Несмотря на эквивалентность тепло­ты и работы, процессы их взаимного пре­вращения неравнозначны. Опыт показы­вает, что механическая энергия может быть полностью превращена в теплоту, например, путем трения, однако теплоту полностью превратить в механическую энергию в периодически повторяющемся процессе нельзя. Многолетние попытки осуществить такой процесс не увенча­лись успехом. Это связано с существова­нием фундаментального закона природы, называемого вторым законом термодинамики. Чтобы выяснить его сущность, обратимся к принципиаль­ной схеме теплового двигателя.

Как показал опыт, все без исключе­ния тепловые двигатели должны иметь горячий источник теплоты, рабочее тело, совершающее замкнутый процесс — цикл, и холодный источник теплоты.

‘Практически в существующих тепло­вых двигателях горячими источниками служат химические реакции сжигания топлива или внутриядерные реакции, а в качестве холодного источника используется окружающая среда — ат­мосфера. В качестве рабочих тел, как отмечалось выше, применяются газы или пары.

Рисунок 2 – Круговой процесс (цикл) в р, v и Т, s-координатах

Работа двигателя осуществляется следующим образом. Расши­ряясь по линии 1B2 , рабочее тело со­вершает работу, равную площади 1B22´1´. В непрерывно действующей теп­ловой машине этот процесс должен по­вторяться многократно. Для этого нужно уметь возвращать рабочее тело в исход­ное состояние. Такой переход можно осу­ществить в процессе 2В1, но при этом потребуется совершить над рабочим те­лом ту же самую работу. Ясно, что это не имеет смысла, так как суммарная рабо­та — работа цикла — окажется равной нулю.

Для того чтобы двигатель непрерыв­но производил механическую энергию, работа расширения должна быть больше работы сжатия. Поэтому кривая сжатия 2A1 должна лежать ниже кривой расши­рения. Затраченная в процессе 2A1 рабо­та изображается площадью 2A11´2´. В результате каждый килограмм рабоче­го тела совершает за цикл полезную ра­боту lц, эквивалентную площади 1В2А1, ограниченной контуром цикла. Цикл можно разбить на два участка: A1B, на котором происходит подвод теплоты q1, и B2A, на котором происходит отвод теп­лоты q2. В точках А и В нет ни подвода, ни отвода теплоты, и в этих точках поток теплоты меняет знак. Таким образом, для непрерывной работы двигателя не­обходим циклический процесс, в котором к рабочему телу от горячего источника подводится теплота q1 и отводится от него к холодному теплота q2. B T, s–ди­аграмме теплота q1 эквивалентна площа­ди A´A1BB´, a q2 — площади A´A2BB´.

Применим первый закон термодина­мики к циклу, который совершает 1 кг рабочего тела:

.

Здесь означает интегрирование по за­мкнутому контуру 1В2А1.

Внутренняя энергия системы являет­ся функцией состояния. При возвраще­нии рабочего тела в исходное состояние она также приобретает исходное значение. Поэтому , и предыдущее вы­ражение превращается в равенство

, (1)

где представляет собой ту часть теплоты горячего источника, которая превращена в работу. Это — теплота, по­лезно использованная в цикле, она равна разности теплот и эквивалентна площади, ограниченной контуром цикла в T,s-диаграмме.

Отношение работы, производимой двигателем за цикл, к количеству тепло­ты, подведенной за этот цикл от горячего источника, называется термиче­ским коэффициентом полез­ного действия (КПД) цикла:

.

Коэффициент полезного действия оценивает степень совершенства цикла теплового двигателя. Чем больше КПД, тем большая часть подведенной теплоты превращается в работу.

Соотношение (1) является матема­тическим выражением принципа эквива­лентности тепловой и механической энергии.

Отметим, что если исключить из схе­мы теплового двигателя холодный источ­ник, то формально принцип эквивален­тности не будет нарушен. Однако, как показывает опыт и как следует из про­веденного выше анализа работы двигате­ля, такой двигатель работать не будет.

Тепловой двигатель без холодного источника теплоты, т. е. двигатель, пол­ностью превращающий в работу всю по­лученную от горячего источника теплоту, называется вечным двигателем второго рода.

Таким образом, второй закон термо­динамики можно сформулировать в виде следующего утверждения: «Вечный дви­гатель второго рода невозможен». В бо­лее расшифрованном виде эту формули­ровку в 1851 г. дал В. Томсон: «Невоз­можна периодически действующая теп­ловая машина, единственным результа­том действия которой было бы получение работы за счет отнятия теплоты от не­которого источника».

Проблема создания вечного двигателя привлекала исследователей на протяжении длительного времени. Человечество овладело бы неисчерпываемыми запасами внутренней энергии тел, будь построен вечный двигатель второго рода. Действительно, количество теп­лоты, выделяющейся при охлаждении, напри­мер, земного шара всего на 1 К (масса земно­го шара равна кг, его удельную тепло­емкость примем равной 840 Дж/(кг-К), равно Дж. Для сравнения следует указать, что в 2000 г. мировое потребление всех энерго­ресурсов мира не превысит Дж, т. е. бу­дет в 10 миллионов раз меньше.

Рассмотрим простейший случай, ког­да имеется один горячий с температу­рой T1 и один холодный с температурой T2 источники теплоты. Теплоемкость каждого из них столь велика, что отъем рабочим телом теплоты от одного источ­ника и передача ее другому практически не меняет их температуры. Хорошей ил­люстрацией могут служить земные недра в качестве горячего источника и атмос­фера в качестве холодного.

Единственная возможность осуще­ствления в этих условиях цикла, состоя­щего только из равновесных процессов, заключается в следующем. Теплоту от горячего источника к рабочему телу нуж­но подводить изотермически. В любом другом случае температура рабочего те­ла будет меньше температуры источника T1, т. е. теплообмен между ними будет неравновесным. Равновесно охладить ра­бочее тело от температуры горячего до температуры холодного источника T2, не отдавая теплоту другим телам (которых по условию нет), можно только путем адиабатного расширения с совершением работы. По тем же соображениям процесс теплоотдачи от рабочего тела к хо­лодному источнику тоже должен быть изотермическим, а процесс повышения температуры рабочего тела от T1 до T2 — адиабатным сжатием с затратой работы. Такой цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, носит название цикла К а р н о, поскольку именно с его по­мощью С. Карно в 1824 г. установил ос­новные законы превращения тепловой энергии в механическую.

Осуществление цикла Карно в тепло­вой машине можно представить следую­щим образом. Газ (рабочее тело) с на­чальными параметрами, характеризую­щимися точкой а, помещен в цилиндр под поршень, причем боковые стенки цилиндра и поршень абсолютно нетеплопроводны, так что теплота может передаваться только через основание ци­линдра.

Рисунок 3 – Прямой цикл Карно

Вводим цилиндр в соприкосновение с горячим источником теплоты. Расширя­ясь изотермически при температуре от объема va до объема vb, газ забирает от горючего источника теплоту . В точке b подвод теплоты прекра­щаем и ставим цилиндр на теплоизолятор. Дальнейшее расширение рабочего тела происходит адиабатно. Работа рас­ширения совершается при этом только за счет внутренней энергии, в результате чего температура газа падает до T2.

Теперь возвратим тело в начальное состояние. Для этого сначала поместим цилиндр на холодный источник с темпе­ратурой T2 и будем сжимать рабочее тело по изотерме cd, совершая работу l2 и отводя при этом к нижнему источнику от рабочего тела теплоту . Затем снова поставим цилиндр на теплоизолятор и дальнейшее сжатие проведем в адиабатных условиях. Рабо­та, затраченная на сжатие по линии da, идет на увеличение внутренней энергии, в результате чего температура газа уве­личивается до T1.

Таким образом, в результате цикла каждый килограмм газа получает от го­рячего источника теплоту q1, отдает хо­лодному теплоту q2 и совершает работу lц.

Подставив в формулу , спра­ведливую для любого цикла, выраже­ния для q1 и q2, получим, что терми­ческий КПД цикла Карно определяет­ся формулой

.

Из нее видно, что термический КПД цикла Карно зависит только от абсолют­ных температур горячего и холодного источников. Увеличить КПД цикла мож­но либо за счет увеличения температуры горячего источника, либо за счет умень­шения температуры холодного, причем влияние температур и на значение различно:

,

,

а так как .

Таким образом, увеличение темпера­туры горячего источника в меньшей сте­пени повышает КПД цикла Карно, чем такое же (в Кельвинах) уменьшение тем­пературы холодного.

Являясь следствием второго закона термодинамики, формула для КПД цик­ла Карно, естественно, отражает его со­держание. Из нее видно, что теплоту горячего источника можно было бы пол­ностью превратить в работу, т. е. полу­чить КПД цикла, равный единице, лишь в случае, когда либо . Оба значения температур недостижимы. (Недостижимость абсолютного нуля темпе­ратур следует из третьего начала термо­динамики).

При T1=T2 термический КПД цикла равен нулю.

Это указывает на невозмож­ность превращения теплоты в работу, если все тела системы имеют одинаковую температуру, т. е. находятся между со­бой в тепловом равновесии. Для ориентировки приводим значе­ния термического КПД цикла Карно при различных температурах горячего источ­ника и при температуре холодного источ­ника, равной 10 °С.

Приведенные цифры дают КПД иде­ального цикла. Коэффициент полезного действия реального теплового двигателя, конечно, ниже.

Обратный цикл Карно

Осуществим цикл Карно в обратном направлении. Рабочее тело с начальными параметрами точки а расширя­ется адиабатно, совершая работу расши­рения за счет внутренней энергии, и ох­лаждается от температуры Т1 до темпе­ратуры T2 Дальнейшее расширение про­исходит по изотерме, и рабочее тело отбирает от нижнего источника с темпе­ратурой T2 теплоту q2. Далее газ под­вергается сжатию сначала по адиабате, и его температура от Т2 повышается до T1, а затем — по изотерме (T1=const). При этом рабочее тело отдает верхнему источнику с температурой T1 количество теплоты q1.

Рисунок 4 – Обратный цикл Карно в р,v– и T, s-диаграммах

Рисунок 5 – Термодинамическая схема холодиль­ной машины

Поскольку в обратном цикле сжатие рабочего тела происходит при более вы­сокой температуре, чем расширение, ра­бота сжатия, совершаемая внешними си­лами, больше работы расширения на ве­личину площади abcd, ограниченной контуром цикла. Эта работа превраща­ется в теплоту и вместе с теплотой q2 передается верхнему источнику. Таким образом, затратив на осуществление об­ратного цикла работу lц, можно перене­сти теплоту от источника с низкой температурой к источнику с более высокой температурой, при этом нижний источник отдаст количество теплоты q2, а верхний получит количество теплоты ql = q2lц.

Обратный цикл Карно является идеальным циклом холодильных установок и так называемых тепловых насосов.

В холодильной установке рабочими телами служат, как правило, пары легкокипящих жидкостей — фреона, аммиака и т. п. Процесс «перекачки теплоты» от тел, помещенных в холодильную камеру, к окружающей среде происходит за счет затрат электроэнергии.

Эффективность холодильной установки оценивается холодильным коэффициентом, определяемым как отношение количества теплоты, отнятой за цикл от холодильной камеры, к за­траченной в цикле работе:

.

Для обратного цикла Карно .

Заметим, что чем меньше разность температур между холодильной камерой и окружающей средой, тем меньше нуж­но затратить энергии для передачи теп­лоты от холодного тела к горячему и тем выше холодильный коэффициент.

Холодильную установку можно ис­пользовать в качестве теплового насоса. Если, например, для отопления помеще­ния использовать электронагревательные приборы, то количество теплоты, выде­ленное в них, будет равно расходу элек­троэнергии. Если же это количество элек­троэнергии использовать в холодильной установке, горячим источником, т. е. при­емником теплоты, в которой является отапливаемое помещение, а холодным — наружная атмосфера, то количество теп­лоты, полученное помещением,

где q2 — количество теплоты, взятое от наружной атмосферы, а — расход электроэнергии. Понятно, что q1>, т. е. отопление с помощью теплового на­соса выгоднее простого электрообогрева.

Используя обратный цикл Карно, рассмотрим еще одну формулировку вто­рого закона термодинамики, которую в то же время, что и В. Томсон, пред­ложил Р. Клаузиус: теплота не может самопроизвольно (без компенсации) пе­реходить от тел с более низкой к телам с более высокой температурой.

Эта формулировка интуитивно следу­ет из нашего повседневного опыта, кото­рый показывает, что самопроизвольно теплота переходит только от тел с более высокой к телам с более низкой темпера­турой, а не наоборот. Можно доказать, что формулировка Р. Клаузиуса эквива­лентна формулировке В. Томсона.

Действительно, если бы теплота q2, полученная за цикл холодным источни­ком, могла самопроизвольно перейти к горячему источнику, то за счет нее снова можно было бы получить какую-то работу — вечный двигатель второго ро­да, таким образом, был бы возможным.

Из рассмотрения обратного цикла Карно следует, что передача теплоты от тела менее нагретого к телу более на­гретому возможна, но этот «неестествен­ный» (точнее — несамопроизвольный) процесс требует соответствующей энер­гетической компенсации в системе. В об­ратном цикле Карно в качестве такой компенсации выступала затраченная ра­бота, но это может быть и затрата тепло­ты более высокого потенциала, способ­ной совершить работу при переходе на более низкий потенциал.