Количество теплоты полученное за цикл

6.3. Второй закон термодинамики

6.3.2. Коэффициент полезного действия произвольного цикла

Круговой процесс (цикл) всегда состоит из нескольких процессов, в том числе и изопроцессов.

Согласно первому началу термодинамики, в каждом из таких процессов газом может совершаться работа и может изменяться его внутренняя энергия. Теплота, полученная или отданная газом в каждом процессе, будет различной.

В таблице отражены расчетные формулы, условные обозначения и нулевые значения для работы, изменения внутренней энергии и теплоты, полученной газом в некоторых процессах.

Примечание. В таблице использованы следующие обозначения: i — число степеней свободы газа (для одноатомного газа i = 3; для двухатомного газа i = 5; для трех- и многоатомного газа i = 6); ν — количество вещества (газа); ΔT — изменение температуры газа в результате процесса, ∆T = T
2 − T
1; T
1 — температура газа в начале процесса; T
2 — температура газа в конце процесса; ΔV — изменение объема газа в результате процесса, ∆V = V
2 − V
1; V
1 — объем газа в начале процесса; V
2 — объем газа в конце процесса; p — давление газа; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

При решении задач на вычисление коэффициента полезного действия произвольного цикла следует использовать следующий алгоритм:

1) построить график кругового процесса в координатах p(V);

2) выделить участки, соответствующие изопроцессам;

3) заполнить таблицу:

4) проанализировать, положительным или отрицательным является выражение для теплоты, полученной/отданной газом, в каждом процессе (в последней колонке таблицы указать соответствующий знак):

• газ получает теплоту, если Q > 0;
• газ отдает теплоту, если Q < 0;

5) рассчитать работу газа за цикл, суммируя алгебраически работы газа на каждом из участков (т.е. складывая значения работ из третьей колонки таблицы с учетом соответствующего знака):

A = A
12
+ A
23
+ … + A
n1
;

6) найти теплоту, полученную газом за цикл Q
получ, суммируя только те значения Q, которые являются положительными;

7) рассчитать коэффициент полезного действия для рассмотренного цикла по формуле

η=AQполуч⋅100 %.

Пример 12. Идеальный одноатомный газ в идеальной тепловой машине совершает циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Максимальное давление газа в 4,00 раза больше минимального. Максимальный объем газа в 6,00 раз больше минимального. Определить коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины.

Решение. На рисунке изображен циклический процесс, происходящий с определенной массой идеального одноатомного газа, в координатах p(V). Процесс состоит из двух изохор и двух изобар:

1–2 — изохора (V
1 = const);

2–3 — изобара (p
2 = const);

3–4 — изохора (V
2 = const);

4–1 — изобара (p
1 = const).

Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–4–1, изображенного на рисунке, определяется формулой

η=A12+A23+A34+A41Qполуч⋅100 %,

где A
12
 — работа, совершаемая газом на участке 1–2; A
23
 — работа, совершаемая газом на участке 2–3; A
34
 — работа, совершаемая газом на участке 3–4; A
41
 — работа, совершаемая газом на участке 4–1; Q
получ — количество теплоты, полученной газом за цикл.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

• участок 1–2 (изохора) —

Q
12
= A
12
+ ∆U
12
,

где A
12
 — работа газа при изохорном процессе на участке 1–2, A
12
 = 0; ΔU
12
 — изменение внутренней энергии газа на участке 1–2, ∆U
12
 = = 1,5νR(T
2 − T
1); ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная; T
1 — начальная температура газа на участке 1–2; T
2 — конечная температура газа на участке 1–2;

• участок 2–3 (изобара) —

Q
23
= A
23
+ ∆U
23
,

где A
23
 — работа газа при изобарном процессе на участке 2–3, A
23
 = p
2(V
2 − V
1); p
2 — давление газа на участке 2–3; V
1 — начальный объем газа на участке 2–3; V
2 — конечный объем газа на участке 2–3; ΔU
23
 — изменение внутренней энергии газа на участке 2–3, ∆U
23
 = = 1,5νR(T
3 − T
2); T
2 — начальная температура газа на участке 2–3; T
3 — конечная температура газа на участке 2–3;

• участок 3–4 (изохора) —

Q
34
= A
34
+ ∆U
34
,

где A
34
 — работа газа при изохорном процессе на участке 3–4, A
34
 = 0; ΔU
34
 — изменение внутренней энергии газа на участке 3–4, ∆U
34
 = = 1,5νR(T
4 − T
3); T
3 — начальная температура газа на участке 3–4; T
4 — конечная температура газа на участке 3–4;

• участок 4–1 (изобара) —

Q
41
= A
41
+ ∆U
41
,

где A
41
 — работа газа при изобарном процессе на участке 4–1, A
41
 = p
1(V
1 − V
2); p
1 — давление газа на участке 4–1; V
2 — начальный объем газа на участке 4–1; V
1 — конечный объем газа на участке 4–1; ΔU
41 — изменение внутренней энергии газа на участке 4–1, ∆U
41
 = = 1,5νR(T
1 − T
4); T
4 — начальная температура газа на участке 4–1; T
1 — конечная температура газа на участке 4–1.

Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3, так как именно на этих участках количество теплоты является положительным. Следовательно, полученное за цикл количество теплоты определяется формулой

Qполуч=Q12+Q23=1,5νR(T2−T1)+p2(V2−V1)+1,5νR(T3−T2).

После преобразований получим

Qполуч=p2(V2−V1)+1,5νR(T3−T1).

Коэффициент полезного действия цикла

η=p2(V2−V1)+p1(V1−V2)p2(V2−V1)+1,5νR(T3−T1)⋅100 %.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для состояний идеального газа, обозначенных на графике точками 1 и 3:

p
1V
1 = νRT
1, p
2V
2 = νRT
3.

В выражении для коэффициента полезного действия произведем соответствующую замену, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

η=p2V2−p2V1+p1V1−p1V22,5p2V2−p2V1−1,5p1V1⋅100 %.

Выполним почленное деление числителя и знаменателя на произведение (p
1V
1):

η=p2V2p1V1−p2p1+1−V2V12,5p2V2p1V1−p2p1−1,5⋅100 %.

С учетом того, что p
1 и V
1 являются минимальными значениями давления и объема газа, а p
2 и V
2 — максимальными, выполним подстановку:

p
2 = 4,00p
1, V
2 = 6,00V
1.

Искомый коэффициент полезного действия составит

η=4,00⋅6,00−4,00+1,00−6,002,5⋅4,00⋅6,00−4,00−1,50⋅100 %=27,5.

Пример 13. Рабочим веществом идеальной тепловой машины является идеальный одноатомный газ. Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–1 равен 30 %, а коэффициент полезного действия цикла 1–3–4–1 равен 40 %. Определить коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1.

Решение. 1. Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–4–1 определяется формулой

η=A12+A23+A34+A41Qполуч⋅100 %,

где A
12
 — работа, совершаемая газом на участке 1–2; A
23
 — работа, совершаемая газом на участке 2–3; A
34
 — работа, совершаемая газом на участке 3–4; A
41
 — работа, совершаемая газом на участке 4–1; Q
получ — количество теплоты, полученной газом за цикл.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

• участок 1–2 —

Q
12
= A
12
+ ∆U
12
= A
12
+ 1,5νR(T
2 − T
1) > 0,

где ΔU
12
 — изменение внутренней энергии газа на участке 1–2, ∆U
12
 = = 1,5νR(T
2 − T
1); ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная; T
1 — начальная температура газа на участке 1–2; T
2 — конечная температура газа на участке 1–2;

• участок 2–3 —

Q
23
= A
23
+ ∆U
23
= A
23
+ 1,5νR(T
3 − T
2) > 0,

где ΔU
23
 — изменение внутренней энергии газа на участке 2–3, ∆U
23
 = = 1,5νR(T
3 − T
2); T
2 — начальная температура газа на участке 2–3; T
3 — конечная температура газа на участке 2–3;

• участок 3–4 —

Q
34
= A
34
+ ∆U
34
= A
34
+ 1,5νR(T
4 − T
3) < 0,

где ΔU
34
 — изменение внутренней энергии газа на участке 3–4; ∆U
34
 = = 1,5νR(T
4 − T
3); T
3 — начальная температура газа на участке 3–4; T
4 — конечная температура газа на участке 3–4;

• участок 4–1 —

Q
41
= A
41
+ ∆U
41
= A
41
+ 1,5νR(T
1 − T
4) < 0,

где ΔU
41
 — изменение внутренней энергии газа на участке 4–1, ∆U
41
 = = 1,5νR(T
1 − T
4); T
4 — начальная температура газа на участке 4–1; T
1 — конечная температура газа на участке 4–1.

Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3, так как Q
12 и Q
23 являются положительными. Следовательно, полученное за цикл количество теплоты определяется формулой

Qполуч=Q12+Q23=A12+1,5νR(T2−T1)+A23+1,5νR(T3−T2).

После преобразований имеем:

Q
получ = A
12
+ A
23
+ 1,5νR(T
3 − T
1).

Коэффициент полезного действия цикла

η=A12+A23+A34+A41A12+A23+1,5νR(T3−T1)⋅100 %.

Установим связь входящих в формулу величин с коэффициентами полезного действия на участках 1–2–3–1 и 1–3–4–1.

2. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу 1–2–3–1.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

• участок 1–2 —

Q12=A12+ΔU12=A12+1,5νR(T2−T1)>0;

• участок 2–3 —

Q23=A23+ΔU23=A23+1,5νR(T3−T2)>0;

• участок 3–1 —

Q31=A31+ΔU31=A31+1,5νR(T1−T3)<0,

где ΔU
31
 — изменение внутренней энергии газа на участке 3–1, ∆U
31
 = = 1,5νR(T
1 − T
3); T
3 — начальная температура газа на участке 3–1; T
1 — конечная температура газа на участке 3–1.

Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–1:

η1=A12+A23+A31A12+A23+1,5νR(T3−T1)⋅100 %.

3. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу 1–3–4–1.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

• участок 1–3 —

Q13=A13+ΔU13=A13+1,5νR(T3−T1)>0,

где ΔU
13
 — изменение внутренней энергии газа на участке 1–3, ∆U
13
 = = 1,5νR(T
3 − T
1); T
1– начальная температура газа на участке 1–3; T
3 — конечная температура газа на участке 1–3;

• участок 3–4 —

Q34=A34+ΔU34=A34+1,5νR(T4−T3)<0;

• участок 4–1 —

Q41=A41+ΔU41=A41+1,5νR(T1−T4)<0.

Коэффициент полезного действия цикла 1–3–4–1:

η2=A13+A34+A41A13+1,5νR(T3−T1)⋅100 %.

Выражения для КПД образуют систему:

η=A12+A23+A34+A41A12+A23+1,5νR(T3−T1)⋅100 %,η1=A12+A23+A31A12+A23+1,5νR(T3−T1)⋅100 %,η2=A13+A34+A41A13+1,5νR(T3−T1)⋅100 %,}

которую необходимо решить относительно η.

Из второго уравнения системы следует

A12+A23=1,5νRη1(T3−T1)−A311−η1,

а из третьего —

A13+A34=1,5νRη2(T3−T1)−A13(1−η2),

где η1 и η2 представлены в долях.

Подставим полученные уравнения в первое уравнение системы и преобразуем выражение

η=(η1+η2−η1η2)(1,5νR(T3−T1)+A13)(1,5νR(T3−T1)−A31)⋅100 %.

С учетом

A
13
= −A
31

получим

η=(η1+η2−η1η2)⋅100 %.

Вычислим:

η=(0,3+0,4−0,3⋅0,4)⋅100 %=58 %.

КПД тепловой машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1, составляет 58 %.