Как решить уравнение циклом

Уравнение представляет собой многочлен переменных (неизвестных величин) вида:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 fleft(x_1,x_2,ldots,x_nright)=0 f(x1​,x2​,…,xn​)=0

Степень уравнения определяется степенью входящего в него неизвестного.

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения типа a x = b ax=b ax=b.

Например, 103 x + 18 = 4 103x+18=4 103x+18=4.

Для решения таких уравнений необходимо перенести неизвестные в одну сторону, числовые значения в другую, затем привести подобные и выразить неизвестное.

Пример 1

Решить уравнение 4 x – 8 = 2 + 3 x + 4 4x – 8 = 2 + 3x + 4 4x-8=2+3x+4

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую (с противоположными знаками):

4 x – 3 x = 2 + 4 + 8 4x – 3x = 2 + 4 + 8 4x-3x=2+4+8

2. Приведем подобные (сложим и вычтем неизвестные и числа):

x = 14 x = 14 x=14

Ответ: x = 14 x = 14 x=14

Противоположный знак – знак обратный исходному при переноси числа или выражения через знак =. Для знака плюс, противоположным будет знак «-» и наоборот, для частного произведение и соответственно для произведения – частное.

Пример 2

Выразить x x x в уравнении 18 x + 2 x – 4 = 10 x + 16 18x + 2x – 4 = 10x + 16 18x+2x-4=10x+16

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую

18 x + 2 x – 10 x = 16 + 4 18x + 2x – 10x = 16 + 4 18x+2x-10x=16+4

2. Приведем подобные

10 ∗ x = 20 10*x = 20 10∗x=20

x = 20 / 10 = 2 x = 20/10 = 2 x=20/10=2

Ответ: x = 2 x = 2 x=2.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения – уравнения вида a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0. Наиболее универсальной формулой решения таких уравнений является следующая:

x 1.2 = − b ∓ b 2 − 4 a c 2 a x_{1.2}=-bmpfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1.2​=−b∓2ab2−4ac ​​

где a , b , c a,b,c a,b,c – коэффициенты уравнения.

Пример 1

Найти корни уравнения x 2 + 2 x – 1 = – 9 – 3 х x^2 + 2x – 1 = -9 – 3х x2+2x-1=-9-3х

Решение

1. Приведем уравнение к виду квадратного

   x 2 + 2 x – 1 + 9 + 3 х = 0 x^2 + 2x – 1 + 9 + 3х = 0 x2+2x-1+9+3х=0

1 x 2 + 5 x + 8 = 0 1x^2 + 5x + 8 = 0 1×2+5x+8=0

2. Найдем корни

x 1.2 = − 5 ∓ 5 2 − 4 ∗ 1 ∗ 8 2 ∗ 1 = − 5 ∓ − 7 2 ∗ 1 x_{1.2}=-5mpfrac{sqrt{5^2-4ast1ast8}}{2ast1}=-5mpfrac{sqrt{-7}}{2ast1} x1.2​=−5∓2∗152−4∗1∗8 ​​=−5∓2∗1−7 ​​

Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение корней не имеет.

Пример 2

Решить уравнение 2 x 2 + 3 x – 2 = 0 2x^2 + 3x – 2 = 0 2×2+3x-2=0

Решение

x 1.2 = − 3 ∓ 3 2 − 4 ∗ 2 ∗ ( − 2 ) 2 ∗ 2 = − 3 ∓ 9 + 16 4 = 3 ∓ 5 4 x 1 = 3 + 5 4 = 4 , 25 x 2 = 3 − 5 4 = 1 , 75 x_{1.2}=-3mpfrac{sqrt{3^2-4ast2astleft(-2right)}}{2ast2}=-3mpfrac{sqrt{9+16}}{4}=3mpfrac{5}{4} x_1=3+frac{5}{4}=4,25 x_2=3-frac{5}{4}=1,75 x1.2​=−3∓2∗232−4∗2∗(−2) ​​=−3∓49+16 ​​=3∓45​x1​=3+45​=4,25×2​=3−45​=1,75

Ответ: уравнение имеет 2 корня: 4,25 и 1,75.

Кубические уравнения

Кубические уравнения – уравнения вида a x 3 + b = 0 ax^3 + b = 0 ax3+b=0 или a x 3 + с x 2 + d x = 0 ax^3 + сx^2 + dx = 0 ax3+сx2+dx=0.

Для решения таких уравнений x x x выносится за скобку, записывается корень х = 0 х = 0 х=0, решается оставшееся в скобках квадратное уравнение.

Пример 1

Сколько корней имеет уравнение 3 x 3 + 2 x 2 – 1 x = 0 3x^3 + 2x^2 – 1x = 0 3×3+2×2-1x=0

Решение

1. Вынесем x x x

x ( 3 x 2 + 2 x – 1 ) = 0 x(3x^2 + 2x – 1) = 0 x(3×2+2x-1)=0

Первый корень x = 0 x = 0 x=0

2. Решаем уравнение 3 x 2 + 2 x – 1 = 0 3x^2 + 2x – 1 = 0 3×2+2x-1=0

x 2.3 = − 2 ∓ 4 2 − 4 ∗ 3 ∗ ( − 1 ) 2 ∗ 3 = − 2 ∓ 16 + 12 6 = − 2 ∓ 28 6 = − 2 ∓ 2 7 6 x 2 = − 2 + 7 3 x 3 = − 2 − 7 3 x_{2.3}=-2mpfrac{sqrt{4^2-4ast3astleft(-1right)}}{2ast3}=-2mpfrac{sqrt{16+12}}{6}=-2mpfrac{sqrt{28}}{6}=-2mpfrac{2sqrt7}{6} x_2=-2+frac{sqrt7}{3} x_3=-2-frac{sqrt7}{3} x2.3​=−2∓2∗342−4∗3∗(−1) ​​=−2∓616+12 ​​=−2∓628 ​​=−2∓627 ​​x2​=−2+37 ​​x3​=−2−37 ​​

Ответ: 3 корня.

Пример 2

Решить уравнение 2 x 3 − 16 = 0 2x^3 – 16 = 0 2×3−16=0

Решение

1. Упростим уравнение делением на общий делитель 2

   2 x 3 − 16 2 = x 3 − 8 x 3 − 8 = 0 x 3 = 8 x = 8 3 = 2 frac{2x^3- 16 }{2}=x^3-8 x^3-8=0 x^3=8 x=sqrt[3]{8}=2 22×3− 16 ​=x3−8×3−8=0x3=8x=38 ​=2

Ответ: x = 2 x = 2 x=2

Существуют и другие виды уравнений (дробно-рациональные, трансцендентные), однако их решение сводится к упрощению и приведению к линейному, квадратному или кубическому виду.

Например, дробно-рациональное уравнение вида

x 2 + 2 x + 1 x + 1 = 0 frac{x^2+2x+1}{x+1}=0 x+1×2+2x+1​=0

решается путем сокращения дроби и преобразованию к линейному виду

( x + 1 ) ∗ ( x + 1 ) x + 1 = 0 frac{left(x+1right)astleft(x+1right)}{x+1}=0 x+1(x+1)∗(x+1)​=0

x + 1 = 0 x+1=0 x+1=0

х = − 1 х = -1 х=−1

Трансцендентные уравнения (логарифмические, показательные, тригонометрические) решаются заменой сложных выражений знакомым нам х, его нахождением и обратной заменой на найденное значение.

Тест по теме «Примеры решения уравнений»

Источник

В обычном, как императивном, так и функциональном программировании вся программа по большому счету сводится к огромному числу равенств x = …, где слева стоит переменная, а справа – выражение, зависящее от переменных. А языки программирования предоставляют синтаксический сахар, что бы записать это множество как можно более компактно. Это уже почти уравнения, только тривиальные.

Некоторые сложности обнаруживаются в ленивых языках:

fib = 1:1:(zipWith (+) fib (tail fib))

Здесь fib присутствует и в левой и в правой части, то есть мы получаем полноценное уравнение, решением которого будет бесконечная последовательность чисел Фибоначчи. Так как на бесконечных последовательностях естественным образом определяется топология, Haskell может решить это уравнение методом проcтых итераций (через оператор неподвижной точки).

Еще дальше по пути уравнений пошел Prolog. Каждый предикат определяет уравнение на множествах, хоть и записывается без знака равенства. Решаются такие уравнения почти перебором и возможность использовать в них арифметику сильно ограничена.

Но есть язык, в котором уравнения являются важнейшей частью – это Modelica.

model Point Real x,y; equation end Point; model Line parameter Real len; Point p1,p2; equation len = (p1.x-p2.x)^2 + (p1.y-p2.y)^2; end Line;

Здесь отрезок определяется как координаты концов и длинна, при этом длина и координаты связаны очевидным уравнением.

(К сожалению, source такого языка не знает, а вставить раскрашенный pygment-ом html не получается.)

Естественно, уравнения могут быть объединены в систему:

model Hand Point ph,pl; parameter Real l1,h1,l2,h2; Line ll1(len = l1),lh1(len = h1),ll2(len = l2),lh2(len = h2); Real arcl,arch; Point p; equation ll1.p1 = pl; lh1.p1 = ph; ll1.p2.x = pl.x + l1 * arcl; lh1.p2.x = ph.x + h1 * arch; ll1.p2 = ll2.p1; lh1.p2 = lh2.p1; p = ll2.p2; p = lh2.p2; end Hand;

Здесь описывается манипулятор, состоящий из четырех соединенных шарнирами реек управляемый двумя сервоприводами.

Как следует из названия, Modelica предназначена для моделирования сложных, гетерогенных систем. Ее реализации есть у знаменитого Вольфрама, производителя САПР (не путать и «чертежными программами») CATIA. Есть также и свободные реализации, такие как OpenModelica.

Так как моделируемые объекты редко описываются алгебраическими уравнениями, Modelica умеет решать и обыкновенные дифференциальные уравнения. К сожалению, уравнения в частных производных она пока не осилила, но обычно можно разбить систему на конечные элементы и породить обыкновенные дифуры в цикле.

В качестве примера приведу модель

очень сложной

гибридной электромеханической системы – Гауссгана:

model Gauss extends Modelica.Electrical.Anaterfaces.OnePort; Real x (start = -1); Real sp (start = 0); Real co; Real pw (start = 0); Real ke; Real se; Real pe; equation der(pw) = i*v; ke = sp^2/2; se = i^2/2; pe = pw – ke – se; co = (if abs(x) > 0.2 then (abs(x)*(x^(-5))/3.0) else (x/((0.2^5)*3.0))); der(sp) = -co * i; der(x) = sp; der(i) = v + (co * sp); end Gauss; model Main Modelica.Electrical.Analog.Basic.Ground g; Modelica.Electrical.Analog.Sources.ConstantVoltage ps; Modelica.Electrical.Analog.Basic.Resistor rps; Gauss gun; equation connect(ps.p, g.p); connect(ps.p, gun.p); connect(ps.n, rps.p); connect(rps.n, gun.n); end Main;

Здесь x – координата снаряда, v – напряжение, i – ток. Для отладки вычисляется полная энергия pe – ее график будет горизонтальной прямой.

Кроме текстового представления программы, в Modelica стандартизовано и графическое (хотя лично я предпочитаю работать с текстом). Для повторного использования кода применяется знакомое многим по ООП наследование. Есть обширные библиотеки по электротехнике, теплотехнике, механике и, даже, биохимии.

Разработчики «Моделик» не расчитывают охватить все одной системой – большинство реализаций допускает комоделирование с помощью al Mock-up Interface. При желании этот же интерфейс можно задействовать для взаимодействия с внешним миром, но это пока открытая область.

Источник

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим

3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда

3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть

х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:

5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:

5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:

0х = 0.

Ответ: х – любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = – b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:

х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:

0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим

4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:

4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:

4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:

‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим

х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4 : 2,

х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = – 36/19

Ответ: – .

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),

то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,

получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда

f(6) = 37-4 = 33 = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Источник

Рада приветствовать всех на своем канале!

Сегодня поговорим о важной теме – кубических уравнениях и способах их решений. В школах им несправедливо уделяется куда меньшее внимание по сравнению с другими типами уравнений (конечно же, я намекаю на линейные и квадратные ;)). Однако на экзаменах и олимпиадах без навыка решения кубических уравнений обойтись практически невозможно.

На ОГЭ, например, уравнения данного типа периодически встречаются в самом первом номере второй части. На ЕГЭ умение раскладывать кубический многочлен на множители может понадобиться в номерах 13, 15 или 18. Про олимпиады и говорить нечего: навык решения уравнений третьей степени просто необходим всем, кто хочет быть в призерах!

Ну что, начнём???

Кубическое уравнение имеет общий вид:

Рассмотрим 3 возможных способа его решения.

1-й способ – группировка

В отдельных случаях при удачном подборе коэффициентов с помощью группировки удается разложить кубический многочлен на множители, после чего легко находятся все корни уравнения.

Внимание! Любое кубическое уравнение всегда имеет от одного до трех действительных корней.

Рассмотрим пример, в котором удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

откуда находим, что уравнение имеет единственный корень x = 2,

так как вторая скобка при любом значении x принимает исключительно положительные значения.

Но в самом общем случае коэффициенты уравнения могут быть подобраны менее удачно, тогда решить его подобным способом не получится. В этом случае применим следующий алгоритм.

Более универсальный 2-й способ

• Ищем такой x, при котором вся левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. находим подбором первый корень x_1. Практически всегда подходит одно из чисел: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, 0.5, -0.5.
• Производим операцию деления многочлена на многочлен в столбик: делим исходный кубический многочлен на(x−x_1),

  где x_1 – корень, найденный в предыдущем пункте. В результате деления получаем квадратичную функцию, корни которой находятся без труда (дискриминант или теорема Виета всем в помощь).

• В ответ записываем корень x_1 и корни квадратичной функции, найденной во 2-м пункте.

Пример:

подбором находим, что корнем уравнения является число 1, т.е. y_1=1. Далее в столбик делим кубический четырехчлен, стоящий в левой части уравнения, на y−1 и получаем квадратичную функцию

Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение и находим еще два корня. В данном случае это числа 2 и 1. Таким образом, весь кубический многочлен можно записать в виде произведения:

Теперь прекрасно видно, что корнями исходного кубического уравнения являются числа 1 и 2, причем корень 1 имеет кратность, равную двум!

А как быть, если первый корень не находится подбором?

В этом случае помочь может только одно…

3-й способ – формула Кардано

Эта формула 100% сможет расколоть любое кубическое уравнение, даже с самыми страшными коэффициентами! Правда, есть у неё один минус… Она громоздкая и сложная. Настолько, что порой Вы задумаетесь, а так ли сильно хотите решить рассматриваемое уравнение 🙂

Если не испугались, то делюсь полезной ссылкой, по которой Вы сможете подробно ознакомиться с формулой Кардано, её выводом и примерами использования.

Именно эта формула, а точнее целый набор формул, находится внутри всех компьютерных программ, которые за считанные доли секунды способны выдать корни кубического уравнения. Однако, на экзаменах и олимпиадах полагаться приходится только на себя – никаких калькуляторов и прочих чудес техники…

В заключении статьи хочу предложить Вам проверить свои силы и закрепить пройденный материл. Для этого я приготовила три кубических уравнения. Попробуйте решить их разными способами 😉 Ответы жду в комментариях!

До скорых встреч!

P.s. На канале есть и другие публикации, которые могут быть Вам интересны:

Простые советы для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Разбираем самое “опасное” уравнение из первой части ЕГЭ по математике.

Лиге чемпионов посвящается. Подборка задач из ЕГЭ по математике с футбольным сюжетом.

Всё ли Вы знаете о ЕГЭ по математике?

ЕГЭ по математике 2020. Как это было. Подводим итоги.

Топ-5 отличий потенциального СТОбалльника ЕГЭ от обычного школьника

ЕГЭ 2021. Что год грядущий нам готовит.

Источник